Enunciado

Nos exercícios de 27 a 32, ache o vértice, o foco, uma equação do eixo e uma equação da diretriz da parábola dada. Faça um esboço do gráfico.

32 .   y = 3 x 2 - 3 x + 3

Passo 1

Vamos reescrever a equação dada de modo que fique da forma   x - h 2 = 4 p y - k , mas primeiro vamos dividir toda equação por 3:

y = 3 x 2 - 3 x + 3

y 3 = x 2 - x + 1

x 2 - x = y 3 - 1

Passo 2

Completando quadrado dos termos envolvendo x no primeiro membro:

x 2 - x = y 3 - 1

x 2 - x + 1 4 - 1 4 = y 3 - 1

x - 1 2 2 = y 3 - 1 + 1 4

x - 1 2 2 = y 3 - 3 4

x - 1 2 2 = 1 3 y - 9 4

Assim, conseguimos extrair todas as informações que queremos.

Passo 3

Como temos uma equação do tipo:

x + h 2 = 4 p y - k

Onde h e k representam as coordenadas x e y da parábola, respectivamente, logo nosso vértice é:

V =   1 2 ,   9 4

Equação do eixo:

Como a equação que obtemos é do tipo:

x - h 2 = 4 p y - k

Temos que o eixo da parábola é paralelo ao eixo y passando pelo vértice, logo a equação do eixo é dada por:

x = 1 2

O foco está em:

F = 1 2 , 9 4 + p ⇒ 4 p = 1 3 ⇒ p = 1 12

F = 1 2 , 7 3    

Como o vértice está no ponto médio entre a reta diretriz e o foco e a distância entre o vértice e o foco é igual a p, assim a distância entre o vértice e a reta diretriz é igual p.

A reta diretriz nesse caso, levando em conta o tipo de equação que temos, é paralela ao eixo x. Assim temos que a equação da reta diretriz é:

9 4 - p = 9 4 - 1 12 = 26 12 = 13 6

y = 13 6

Passo 4

O gráfico que representa a equação da parábola é da seguinte maneira:

Resposta

Vértice:

V =   1 2 ,   9 4

Foco:

F = 1 2 , 7 3    

Equação do eixo:

x = 1 2

Equação da diretriz:

y = 13 6

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Nos problemas de 41 a 44, obter equações paramétricas da parábola de equação dada.42. x 2 = 2 y
40. Dada a parábola de equação y = - x 2 + 4 x + 5 , determinar:a) o vértice;b) as interseções com os eixos coordenados;c) o gráfico;d) o foco;e) uma equação da diretriz.