Enunciado

Nos exercícios de 27 a 32, ache o vértice, o foco, uma equação do eixo e uma equação da diretriz da parábola dada. Faça um esboço do gráfico.

30 .   3 y 2 - 8 x - 12 y - 4 = 0

Passo 1

Vamos reescrever a equação dada de modo que fique da forma   y - h 2 = 4 p x - k , mas primeiro vamos dividir toda equação por 3:

3 y 2 - 8 x - 12 y - 4 = 0

y 2 - 8 3 x - 4 y - 4 3 = 0

y 2 - 4 y = 8 3 x + 4 3

Passo 2

Completando quadrado dos termos envolvendo y no primeiro membro:

y 2 - 4 y = 8 3 x + 4 3

y 2 - 4 y + 4 - 4 = 8 3 x + 4 3

y - 2 2 = 8 3 x + 4 3 + 4

y - 2 2 = 8 3 x + 16 3

y - 2 2 = 8 3 ( x + 2 )

Assim, conseguimos extrair todas as informações que queremos.

Passo 3

Como temos uma equação do tipo:

y + h 2 = 4 p x - k

Onde h e k representam as coordenadas x e y da parábola, respectivamente, logo nosso vértice é:

V =   - 2 ,   2

Equação do eixo:

Como a equação que obtemos é do tipo:

y - h 2 = 4 p x - k

Temos que o eixo da parábola é paralelo ao eixo x passando pelo vértice, logo a equação do eixo é dada por:

y = 2

O foco está em:

F = - 2 + p , 2 ⇒ 4 p = 8 3 ⇒ p = 2 3

F = - 4 3 , 2

Como o vértice está no ponto médio entre a reta diretriz e o foco e a distância entre o vértice e o foco é igual a p, assim a distância entre o vértice e a reta diretriz é igual p.

A reta diretriz nesse caso, levando em conta o tipo de equação que temos, é paralela ao eixo y. Assim temos que a equação da reta diretriz é:

- 2 - p = - 2 - 2 3 = - 8 3

x = - 8 3

Passo 4

O gráfico que representa a equação da parábola é da seguinte maneira:

Resposta

Vértice:

V =   - 2 , 2

Foco:

F = - 4 3 , 2

Equação do eixo:

y = 2

Equação da diretriz:

x = - 8 3

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