Nos Exercícios 27-32, determine dp/dq .

30. p = tg(q) / (1 + tg(q))

Passo 1

d p d q = d d q tg ⁡ q 1 + tg ⁡ q

Vamos usar a regra do quociente para conseguir derivar isso ai:

d d q u v = v d u d q - u d v d q v 2

Onde u = tg ⁡ q e v = 1 + tg ⁡ q . A função vai ficar:

d p d q = 1 + tg ⁡ q d d q t g ⁡ q - tg ⁡ q d d q 1 + tg ⁡ q 1 + tg ⁡ q 2

A derivada de tg ⁡ q é igual a sec 2 ⁡ q

Já a derivada de 1 + tg ⁡ q é um poquinho mais chatinha, temos que usar a regra da soma:

d d q 1 + tg ⁡ q = d d q 1 + d d q tg ⁡ q

d d q 1 + tg ⁡ q = 0 + sec 2 ⁡ q = sec 2 ⁡ q

Então a função vai ficar assim:

d p d q = 1 + tg ⁡ q sec 2 ⁡ q - tg ⁡ q sec 2 ⁡ q 1 + tg ⁡ q 2

Multiplicando os termos, vamo ter:

d p d q = sec 2 ⁡ q + tg ⁡ q sec 2 ⁡ q - tg ⁡ q sec 2 ⁡ q 1 + tg ⁡ q 2

d p d q = sec 2 ⁡ q 1 + tg ⁡ q 2

Resposta

d p d q = sec 2 ⁡ q 1 + tg ⁡ q 2

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