Enunciado

Nos Exercícios 29 e 30, use a expressão competição perfeita. Quando uma empresa funciona em competição perfeita, há muitas firmas pequenas assim, nenhuma empresa afeta o preço ao elevar a sua produção. Portanto, sob competição perfeita o preço de uma mercadoria é constante, e a empresa pode vender quanto desejar, a um preço constante.

29. Sob competição perfeita, uma fábrica pode vender a um preço de $200 por unidade todo o estoque de uma determinada mercadoria produzida. Se C ( x ) for o custo total da produção diária quando x unidades são fabricadas, e C x = 2 x 2 + 40 x + 1.400 , ache o número de unidades produzidas diariamente, para que a fábrica tenha um lucro diário total máximo. (Sugestão: o lucro total é igual ao rendimento total menos o custo total.)

Passo 1

Temos que achar quantas unidades produzidas por dia para ter lucro máximo e sabemos que o preço delas será constante, clássica questão para achar ponto máximo.

Passo 2

Vamos organizar as equações. A de custo é dada, C x = 2 x 2 + 40 x + 1.400 , a de rendimento (R) será proporcional ao número de unidades vendidas por $200, então R ( x ) = 200 x . Agora o lucro (L) será o rendimento menos o custo, assim:

L x = R x - C ( x )

Substituindo as equações...

L x = 200 x - ( 2 x 2 + 40 x + 1.400 )

L x = - 2 x 2 + 160 x - 1.400

Certinho? Essa é a principal equação que vamos usar.

Passo 3

Como queremos lucro máximo, vamos derivar L ( x ) e igualar a zero, aí achamos as x unidades diárias para lucro máximo.

Derivando...

L ' x = - 4 x + 160

L ' x = 0 = - 4 x + 160

0 = - 4 x + 160

x = 40

Por isso, 40 unidades diárias produzidas dão o desejado lucro máximo.

Resposta

40 unidades.

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Ache, com até quatro casas decimais, o valor de x no intervalor ( π 2 , 3 π 2 ) para o qual tg x = x, aplicando o método de Newton.