Enunciado

Nos Exercícios 29 e 30, use a expressão competição perfeita. Quando uma empresa funciona em competição perfeita, há muitas firmas pequenas assim, nenhuma empresa afeta o preço ao elevar a sua produção. Portanto, sob competição perfeita o preço de uma mercadoria é constante, e a empresa pode vender quanto desejar, a um preço constante.

30. Uma empresa que fabrica e vendecarteiras sob competição perfeita pode vende-las a um preço unitário de $400. Se x carteiras forem produzidas e vendidas a cada semana e C ( x ) for o custo total da produção semanal, então C x = 2 x 2 + 80 x + 6.000 . Determine quantas carteiras devem ser fabricadas a cada semana para que a companhia obtenha um lucro semanal máximo. Qual será este lucro semanal máximo? Veja a sugestão para o Exercício 29.

Passo 1

Temos que achar quantas unidades produzidas por semana para ter lucro máximo e sabemos que o preço delas será constante, clássica questão para achar ponto máximo.

Passo 2

Vamos organizar as equações. A de custo é dada, C x = 2 x 2 + 80 x + 6.000 , a de rendimento (R) será proporcional ao número de unidades vendidas por $400, então R ( x ) = 400 x . Agora o lucro (L) será o rendimento menos o custo, assim:

L x = R x - C ( x )

Substituindo as equações...

L x = 400 x - ( 2 x 2 + 80 x + 6.000 )

L x = - 2 x 2 + 320 x - 6.000

Certinho? Essa é a principal equação que vamos usar.

Passo 3

Como queremos lucro máximo, vamos derivar L ( x ) e igualar a zero, aí achamos as x unidades por semana para lucro máximo.

Derivando...

L ' x = - 4 x + 320

L ' x = 0 = - 4 x + 320

0 = - 4 x + 320

x = 80

Por isso, 40 unidades semanais produzidas dão o desejado lucro máximo.

Passo 4

A questão ainda pede o valor desse lucro, para isso, basta substituir o valor que encontramos de x na equação de L ( x ) .

L x = - 2 x 2 + 320 x - 6.000

L 80 = - 2 80 2 + 320 80 - 6.000 = $ 6.800

Prontinho

Resposta

80 unidades e lucro semanal de $ 6.800 .

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