Enunciado

Sua metalúrgica foi contratada por uma frábrica de papel para projetar e construir um tanque retangular de aço com base quadrada, sem tampa e com 500   p é s 2 de capacidade. O tanque será construindo soldando-se as chapas de aço umas às outras ao longo das bordas. Como engenheiro de produção, sua tarefa é determinar as dimensões para a base e a altura que farão o tanque pesar o mínimo possível.

a ) que dimensões serão passadas para a oficina?

b ) descreva brevemente como você levou o peso em consideração.

Passo 1

Letra a

O peso depende basicamente do volume das chapas de aço utilizadas.

Se usarmos uma chama de x por y nas laterais e y sendo o lado da base, vamos ter dois volumes, os das 4 chapas na lateral e a da base.

Assim, considerando que cada chapa tem espessura de t , o volume vai ser

V = 4 ∙ x y ∙ t ⏟ L a t e r a l + x 2 ∙ t ⏟ b a s e

V = 4 x y t + x 2 t

Além disso, ele deu a capacidade do tanque, que é o volume do paralelepido de base quadrada de lado x e de altura do paralelepípedo sendo y . Então:

x 2 y = 500

Assim,

y = 500 x 2

O total volume das chapas vai ser

V = 4 x 500 x 2 t + x 2 t

V = 2000 x t + x 2 t

Onde x precisa ser maior que 0

x > 0

Ele não pode ser zero porque temos o x no denominador

Passo 2

Para acharmos o valor de mínimo ou máximo, temos que comparar o valor da função nos pontos críticos e nos extremos do intervalo.

Começando por achar os pontos críticos:

V = 2000 x t + x 2 t

Colocando a fração como potência:

V = 2000 t x - 1 + x 2 t

A espessura é constante, então não interfere na derivada.

Derivando:

V ' = - 2000 t x - 2 + 2 t x

Fazendo isso igual a 0

- 2000 t x - 2 + 2 t x = 0

2000 t x 2 = 2 t x

Cortando o t dos dois lados

2000 x 2 = 2 x

2000 = 2 x 3

x 3 = 1000

x = 10

Passo 3

Vamos achar o valor da função nos pontos críticos e extremos do intervalo:

V = 2000 x t + x 2 t

Ele só deu a limitação em 0 certo? Quer dizer que a outra limitação é o infinito.

x = 0 → V = 2000 0 t + 0 2 t = ∞

x = 10 → V = 2000 10 t + 10 2 t = 200 t + 100 t = 300 t

x = ∞ → V = 2000 ∞ t + ∞ 2 t = 0 + ∞ = ∞

O menor dos 3 valores é quando x = 10

Então passaremos 5 chapas, uma quadrada de lado 10   m e outra de medidas:

x = 10   m

y = 500 10 2 = 500 100 = 5   m

Passo 4

Letra b

Cosnideramos que o peso depende apenas do volume pela densidade ser igual em todo material. Então ao maximizar o volume, já maximizamos o peso.

Além disso, a espessura foi considerada constante.

Resposta

Letras a

Então passaremos 5 chapas, uma quadrada de lado 10   m e outras 4 de medidas 10 × 5 m

Letra b

Cosnideramos que o peso depende apenas do volume pela densidade ser igual em todo material. Então ao maximizar o volume, já maximizamos o peso.

Além disso, a espessura foi considerada constante.

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