Enunciado

Nos exercícios de 29 a 32, ache a medida, em graus, do menor ângulo entre as retas tangentes ao par de curvas dadas nos pontos de intersecção indicados:

31. r = 4 c o s θ r = 4 c o s 2 θ - 3 ; - 2 ,   2 π 3

Passo 1

Bom, precisaremos fazer a diferença entre os ângulos χ 1 e χ 2 , que são os ângulos entre a reta que vai da origem ao ponto de intersecção, dados pela equação:

t g χ = r d r d θ

Com essa diferença, o ângulo obtido será correspondente à rotação de uma reta tangente até a outra pelo menor ângulo

β = χ 1 - χ 2

Passo 2

Vamos calcular χ 1 que corresponde à equação   r = 4 c o s θ , primeiro calcularemos d r d θ :

d r d θ = - 4 s e n θ

E a equação do ângulo será:

t g χ 1 = 4 c o s θ - 4 s e n θ = - c o t g θ

Substituindo θ =   2 π 3

t g χ 1 = - c o t g 2 π 3 = 3 3

E agora para calcular χ 2 , precisamos calcular d r d θ :

r = 4 c o s 2 θ - 3

d r d θ = - 8 s e n θ c o s θ

E a equação de t g χ 2 é:

t g χ 2 = 4 c o s 2 θ - 3 - 8 s e n θ c o s θ

Substituindo   θ =   2 π 3 :

t g χ 2 = 4 c o s 2 2 π 3 - 3 - 8 s e n 2 π 3 c o s 2 π 3 = - 3 3

Passo 3

Usando os dois resultados dos ângulos na equação de β :

β = χ 1 - χ 2 = 3 3 + 3 3 = 2 3 3

β ≅ 66,16 °

Resposta

β ≅ 66,16 °

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