Enunciado

80. Encontre uma equação da curva que passe pelo ponto ( 0 , - 1 ) e para a qual a inclinação em qualquer ponto ( x , y ) sobre ela seja cos ⁡ x - y   t g   x .

Passo 1

Basicamente o que enunciado pede é que achemos uma curva cuja derivada seja cos ⁡ x - y   t g   x já que a derivada da inclinação em um determinado ponto.

Basicamente o que queremos achar é a função que satisfaça a seguinte equação:

y ' = cos ⁡ x - y   t g   x

Agora ajeitando um pouquinho essa equação, temos:

d y d x + y   t g   x = cos ⁡ x

Assim podemos ver que a equação é do tipo:

d y d x + P x y = Q ( x )

Onde:

P x = t g   x           e           Q x = cos ⁡ x

Dado essas informações, basta usar o método do teorema 7.8.1 do Capítulo 7, seção 8 do livro.

Passo 2

Começamos achando o fator de integração.

Como P x = t g   x , um fator de integração é:

e ∫ t g   x   d x = e - ln ⁡ ( cos ⁡ x ) = 1 cos ⁡ x

Passo 3

Multiplicando o fator de integração nos dois lados da equação, ficamos com:

1 cos ⁡ x d y d x + y   t g   x 1 cos ⁡ x   = 1

⇒ sec ⁡ x d y d x + y   t g   x sec ⁡ x = 1

⇒ d d x y sec ⁡ x = 1

Integrando os dois lados, temos:

∫ d d x y sec ⁡ x d x = ∫ 1 d x

⇒ y sec ⁡ x = x + C

⇒ y = x sec ⁡ x + C sec ⁡ x

Passo 4

Para acharmos o valor de C, vamos usar a condição dada no enunciado do ponto que pertence a curva encontrada, o ponto é ( 0 , - 1 ) . Assim:

y = x sec ⁡ x + C sec ⁡ x

⇒ - 1 = 0 sec ⁡ 0 + C sec ⁡ 0

⇒ - 1 = 0 + C 1

⇒ C = - 1

Substituindo o C encontrado na equação:

y = x sec ⁡ x + C sec ⁡ x

⇒ y = x sec ⁡ x - 1 sec ⁡ x

Resposta

A curva tem como equação:

y = x - 1 sec ⁡ x

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