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Nos exercícios 31-36, determine os volumes dos sólidos obtidos com a rotação das regiões em torno dos eixos dados. Se preferir, você poderá usar anéis para resolvê-los.

33 – A região no primeiro quadrante limitada pela curva x   =   y   –   y 3 e pelo eixo y em torno

B – Da reta y = 1 .

Passo 1

Primeiramente organizando as funções em tono do eixo x:

x = y - y 3

Assim o raio será:

1 - y

Assim os limites de integração são: a = 0   e   b = 1

Passo 2

Fórmula:

V = 2 π ∫ a b r a i o ⋅ a l t u r a   d x

Inserindo na fórmula teremos:

V = 2 π ∫ 0 1 ( 1 - y ) ( y - y 3 )   d y

V = 2 π ∫ 0 1 y - y 3 - y 2 - y 4   d y

Resolvendo a integral teremos:

2 π y 2 2 - y 4 4 - y 3 3 + y 5 5 0 1

Inserindo os limites de integração, obteremos o volume:

2 π 1 2 2 - 1 4 4 - 1 3 3 + 1 5 5 - 0 2 2 - 0 4 4 - 0 3 3 + 0 5 5  

Resolvendo:

2 π 1 2 - 1 4 - 1 3 + 1 5 - 0 = 2 π 7 60 = 14 60 π = 7 30 π   u . v .

Observação: Como pediu o volume e não foi informado uma unidade de medida utilizamos o termo u . v . que significa unidade de volume.

Resposta

7 30 π   u . v .

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