Enunciado

1 – 12. Resolva os Exercícios de 5 a 16 da seção 6.1 pelo método do invólucro cilíndrico.

Nos Exercícios, ache o volume do sólido de revolução gerado pela rotação, em torno da reta indicada, da região limitada pela curva y = x , pelo eixo x e pela x = 4 .

12. a reta y = 2

Passo 1

Primeiro vamos ver como fica a região.

Como essa figura está girando em torno do eixo y = 2 , nossa casca cilíndrica imaginária estaria na horizontal e a espessura da casca cilíndrica é dy, então temos que:

d V = 2 π r h ⋅ d y

Então como o d V depende de d y precisamos achar r e h em termos de y.

Assim:

r = 2 - y           h = 4 - y 2

Logo:

V = 2 π ∫ 0 2 2 - y ⋅ ( 4 - y 2 ) d y

Os limites de integração são esses já que y varia de 0 a 2 na região limitada.

Passo 2

Agora vamos resolver a integral.

V = 2 π ∫ 0 2 2 - y ⋅ ( 4 - y 2 ) d y

= 2 π ∫ 0 2 ( 8 - 2 y 2 - 4 y + y 3 )   d y

= 2 π ∫ 0 2 8   d y - ∫ 0 2 2 y 2 d y - ∫ 0 2 4 y   d y + ∫ 0 2 y 3   d y

= 2 π 8 y ​ 0 2 - 2 y 3 3 0 2 - 4 y 2 2 0 2 + y 4 4   0 2

= 2 π 8 2 - 0 - 2 1 3 2 3 - 0 - 4 1 2 2 2 - 0 + 1 4 2 4 - 0

= 2 π ( 16 - 5,3 - 8 + 4 )

= 2 π 13,4 = 13,4 π

Resposta

V = 13,4 π

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