Enunciado

Na Figura abaixo, a região limitada pelo eixo x, pela reta x = 1 e pela curva y = x 2 é denotada por R1; a região limitada pelas curvas y = x 2 e y 2 = x é denotada por R2; a região limitada pelo eixo y, pela reta y = 1 e pela curva y 2 = x é denotada por R3. Nos Exercícios de 13 a 20, ache o volume do sólido gerado pela rotação da região indicada em torno da reta dada.

13. R1 gira em torno do eixo y; os elementos retangulares são paralelos ao eixo de revolução.

Passo 1

Região R1:

Pode se ter uma ideia do que o enunciado quis dizer com elemento retangular nas figuras 7 e 9 no capítulo 6, seção 2 do livro.

O enunciado pede que os elementos retangulares sejam paralelos ao eixo y de rotação, implica que teremos que usar o método das cascas cilíndricas, então nossa casca cilíndrica estaria na vertical e a espessura da casca cilíndrica é dx, então temos que:

d V = 2 π r h ⋅ d x

Então como o d V depende de d x precisamos achar r e h em termos de x.

Assim:

r = x         h = x 2

Logo:

V = 2 π ∫ 0 1 x ⋅ ( x 2 ) d x

Os limites de integração são esses já que x varia de 0 a 1 na região R1 limitada.

Passo 2

Agora vamos resolver a integral.

V = 2 π ∫ 0 1 x ⋅ ( x 2 ) d x

= 2 π ∫ 0 1 x 3 d x

= 2 π x 4 4 0 1

= 2 π 1 4 1 4 - 0

= 2 π 1 4 = π 2

Resposta

V = π 2

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