Enunciado

Nos exercícios 31-36, determine os volumes dos sólidos obtidos com a rotação das regiões em torno dos eixos dados. Se preferir, você poderá usar anéis para resolvê-los.

32 – A região limitada por y =   x ,   y = 2   e   x = 0 , em torno:

C – Da reta x = 4.

Passo 1

Primeiramente organizando as funções em tono do eixo y:

y = x   e   y = 2

Assim os limites de integração são: a = 0   e   b = 4

Passo 2

Fórmula:

V = 2 π ∫ a b r a i o ⋅ a l t u r a   d x

Inserindo na fórmula teremos:

V = 2 π ∫ 0 4 ( 4 - x ) 2 - x   d x

V = 2 π ∫ 0 4 8 - 4 x - 2 x + x x   d x

V = 2 π ∫ 0 4 8 - 4 ⋅ x 1 2 - 2 x + x ⋅ x 1 2   d x

V = 2 π ∫ 0 4 8 - 4 x 1 2 - 2 x + x 3 2 d x

Resolvendo a integral teremos:

2 π 8 x - 4 x 1 2 + 1 1 2 + 1 - 2 x 2 2 + x 3 2 + 1 3 2 + 1 0 4 = 2 π 8 x - 4 x 3 2 3 2 - x 2 + x 5 2 5 2 0 4 = 2 π 8 x - 8 x 3 3 - x 2 + 2 x 5 5 0 4

Inserindo os limites de integração, obteremos o volume:

2 π 8 ⋅ 4 - 8 4 3 3 - 4 2 + 2 4 5 5 - 8 ⋅ 0 - 8 0 3 3 - 0 2 + 2 0 5 5

Resolvendo:

2 π 32 - 8 ⋅ 2 3 3 - 16 + 64 5 - 0 = 2 π 16 - 64 3 + 64 5

Tirando o mínimo múltiplo comum e resolver as frações:

2 π 112 15 = 224 π 1 5 u . v .

Observação: Como pediu o volume e não foi informado uma unidade de medida utilizamos o termo u . v . que significa unidade de volume.

Resposta

224 π 15 u . v .

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