Enunciado

Nos exercícios 31-36, determine os volumes dos sólidos obtidos com a rotação das regiões em torno dos eixos dados. Se preferir, você poderá usar anéis para resolvê-los.

34 – A região no primeiro quadrante limitada pela curva x   =   y   –   y 3 ,   x = 1   e   y = 1 e pelo eixo y em torno

A – Do eixo x.

Passo 1

Primeiramente organizando as funções em tono do eixo x:

x = y - y 3

Assim os limites de integração são: a = 0   e   b = 1

Passo 2

Fórmula:

V = 2 π ∫ a b r a i o ⋅ a l t u r a   d x

Inserindo na fórmula teremos:

V = 2 π ∫ 0 1 y ( 1 - ( y - y 3 ) )   d y

V = 2 π ∫ 0 1 y 1 - y + y 3 d y  

V = 2 π ∫ 0 1 y - y 2 + y 4 )   d y

Resolvendo a integral teremos:

2 π y 2 2 - y 3 3 + y 5 5 0 1

Inserindo os limites de integração, obteremos o volume:

2 π 1 2 2 - 1 3 3 + 1 5 5 - 0 2 2 - 0 3 3 + 0 5 5  

Resolvendo:

2 π 1 2 - 1 3 + 1 5 = 2 π 15 - 10 + 6 30 = 2 π 11 30 = 11 π 15   u . v .

Observação: Como pediu o volume e não foi informado uma unidade de medida utilizamos o termo u . v . que significa unidade de volume.

Resposta

11 π 15   u . v .

Ver Outros Exercícios desse livro

Exercícios de Livros Relacionados

Nos Exercícios 7-12, use o método da casca para determinar o volume do sólido obtido com a rotação em torno do eixo y das regiões limitadas pelas curvas e retas a seguir. y = x ,y = - x 2 ,x = 2
Nos Exercícios 1-6, use o método da casca para determinar os volumes dos sólidos obtidos com a rotação das regiões sombreadas em torno dos eixos indicados.
Nos Exercícios 1-6, use o método da casca para determinar os volumes dos sólidos obtidos com a rotação das regiões sombreadas em torno dos eixos indicados.
Nos Exercícios 7-12, use o método da casca para determinar o volume do sólido obtido com a rotação em torno do eixo y das regiões limitadas pelas curvas e retas a seguir. y = 2 x ,y = x 2 ,x = 1
Nos Exercícios 7-12, use o método da casca para determinar o volume do sólido obtido com a rotação em torno do eixo y das regiões limitadas pelas curvas e retas a seguir. y = x 2 ,y = 2 - x ,x = 0 , p