Enunciado

Nos Exercícios de 33 a 35, use o conceito de taxa relativa, definido como segue se y = f(x), a

taxa relativa da variação de y com relação a x em x1 é dada por f ' x 1 f x 1 ou, equivalentemente,

dy / dx y calculada em x = x1.

33. O rendimento anual bruto de uma empresa t anos a partir de 1º de janeiro de 1988 é p milhões e

p = 2 5 t 2 + 2 t + 10

c) Ache a taxa em que o rendimento bruto deveria crescer em 1º de janeiro de 1994;

d) Ache a taxa antecipada de crescimento relativo do rendimento bruto em 1º de janeiro 1994 até 0,1 por cento.

Passo 1

A função fornecida nada mais é que a função rendimento de uma empresa. Achar a taxa de crescimento desse rendimento nada mais é que achar a função de rendimento marginal, que é só derivar a função dada, e avaliar no instante de tempo que ele deseja.

Achar o crescimento relativo já está fácil de ver como vamos encontrá-lo, basta usar a fórmula fornecida pelo enunciado: f ' x 1 f x 1

Mas uma diferença a ser notada entre a taxa de crescimento relativo e a de crescimento absoluto (uma outra forma de falar o que o item “c” pede) é que a relativo é dada em porcentagem e a absoluto é definida por números.

Por isso a aproximação de até 0,1 porcento pedido no enunciado, que nada mais é que uma aproximação até a primeira casa decimal.

Um outro detalhe a ser notado é que a função fornecida pelo enunciado só começa a valer a parti de 1º de janeiro de 1988, logo até o dia 1º de janeiro de 1994 só se passaram 6 anos, assim t = 6 será o instante avaliado.

Passo 2

Primeiro vamos derivar a função p para encontrar a função rendimento marginal:

p ( t ) = 2 5 t 2 + 2 t + 10

p ' ( t ) = 4 5 t + 2

Passo 3

Agora substituindo t = 6 na função encontrada, acharemos a taxa de crescimento do rendimento bruto:

p ' ( t ) = 4 5 t + 2

            p ' ( 6 ) = 4 5 ( 6 ) + 2

                                                                      = 24 5 + 2 = 34 5 = 6,8

Passo 4

Agora para resolver o item “d” vamos calcular somente p(6), já que o p’(6) já foi calculado no item “c”, depois usaremos a fórmula fornecida pelo enunciado:

f ' x 1 f x 1 ⇒ p ' t 1 p t 1

p ' 6 = 6 , 8

p 6 = 2 5 6 2 + 2 6 + 1 0

              = 2 36 5 + 12 + 10

                                    = 72 5 + 22 = 182 5 = 36,4

Substituindo na fórmula do enunciado:

p ' t 1 p t 1 ⇒ p ' 6 p 6

= 6,8 36,4 ≈ 0 , 187 ⇒ 18,7 %

Resposta

  1. A taxa em que o rendimento bruto crescerá em 1º de janeiro de 1994 será de 6,8 milhões ao ano.
  2. A taxa de crescimento relativo em 1º de janeiro de 1994 será de 18,7%.
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