Enunciado
Cálculo - Cálculo Volume 1 - 8ª Edição - James Stewart- Ed: 8º - Capítulo 3.9 - Ex. 49
Um velocista corre em uma pista circular de raio a uma velocidade constante de . Seu amigo está parado a uma distância de do centro da pista. Quão rápido estará variando a distância entre os amigos quando estiverem a uma distância de ?
Passo 1
Vamos alocar esse problema no plano cartesiano de modo que as pessoas são como pontos e , o centro da pista é a origem e a pessoa é a que está parada em um ponto qualquer a do centro da pista. Logo, seu movimento é descrito por:
) Descreve um movimento circular com velocidade tangencial então sua velocidade angular em função do raio de circunferência é então sua posição é:
) Vamos considerar que está sobre o eixo a da origem:
Passo 2
Logo, a distância entre eles é dada por:
Passo 3
Derivando em função de , temos:
Passo 4
Quando a distância é de
Pela lei trigonométrica fundamental:
Então:
Logo, a distância entre os atletas nesse momento varia a uma razão de aproximadamente metros por segundo.
Resposta
A distância entre os atletas nesse momento varia a uma razão de aproximadamente metros por segundo.