Enunciado

Nos exercícios 33 a 3 7 , encontrar o comprimento de arco da curva dada.

Passo 1

Sabendo que a equação que define o comprimento de arco de uma curva é dada por:

s = ∫ θ 0 θ 1 f ' θ 2 + f θ 2 d θ

Se torna necessário definir a primeira derivada da função da curva fornecida no enunciado.

Ainda, como essa função representa uma circunferência com centro em θ = π / 2 , ela é simétrica em relação a esse eixo. Portanto, pode-se fazer o cálculo de apenas metade do comprimento da curva no intervalo de 0 até π / 2 .

Passo 2

Logo, o que deve ser determinado é:

d d θ r = d d θ 2 a s e n θ = 2 a c o s θ

Portanto, substituindo na equação do comprimento de curva:

s = ∫ 0 π / 2 2 a c o s θ 2 + 2 a s e n θ 2 d θ

s = ∫ 0 π / 2 4 a 2 c o s 2 θ + 4 a 2 s e n 2 θ d θ

Como s e n 2 x + c o s 2 x = 1 :

s = ∫ 0 π / 2 4 a 2 c o s 2 θ + s e n 2 θ d θ = 2 a ∫ 0 π / 2 1 d θ

Passo 3

Logo, resolvendo a integral:

s = 2 a θ π / 2 0

s = 2 a π 2 - 0

s = a π

Mas como este resultado é apenas para metade da curva, então o comprimento total será:

s T = 2 s = 2 a π   u . c .

Resposta

2 a π   u . c .

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