Enunciado

Nos Exercícios 33-38, (a) encontre os limites em coordenadas esféricas para a integral que calcula o volume do sólido dado e em seguida (b) calcule a integral.

O sólido entre a esfera r   =   c o s ⁡ ( ϕ ) e o hemisfério r   =   2 ,   z   ≥   0

Passo 1

Faaaala, cara! Tranquileba?

Para auxiliar na explicação, temos:

E vendo a imagem vemos que o nosso queridão 0 ≤ θ ≤ 2 π , e nosso amado 0 ≤ ϕ ≤ π 2 e tendo já dado que cos ⁡ ϕ ≤ ρ ≤ 2 . E tendo o Jacobiano das coordenadas esféricas como ρ 2 s e n ϕ , temos a integral:

∫ 0 2 π ∫ 0 π 2 ∫ cos ⁡ ϕ 2 ρ 2 s e n ϕ d ρ d ϕ d θ

Passo 2

∫ 0 2 π ∫ 0 π 2 s e n ϕ 3 ρ 3 cos ⁡ ϕ 2 d ϕ d θ

∫ 0 2 π 1 3 ∫ 0 π 2 s e n ( ϕ ) ( 8 - cos 3 ⁡ ϕ ) d ϕ d θ

∫ 0 2 π 1 3 8 ∫ 0 π 2 s e n ϕ d ϕ - ∫ 0 π 2 s e n ϕ c o s ⁡ ( 1 - sen 2 ⁡ ϕ d θ

∫ 0 2 π 1 3 8 ∫ 0 π 2 s e n ϕ d ϕ - ∫ 0 π 2 s e n ϕ cos ⁡ ϕ d ϕ - ∫ 0 π 2 s e n 3 ϕ cos ⁡ ϕ d ϕ d θ

Passo 3

Vamos resolver cada item separadamente

Para:

8 ∫ 0 π 2 s e n ϕ d ϕ

8 - cos ⁡ ϕ 0 π 2 = 8 0 + 1 = 8

Para:

∫ 0 π 2 s e n ϕ cos ⁡ ϕ d ϕ

Façamos u = s e n ( ϕ ) logo d u = cos ⁡ ϕ d ϕ e quando ϕ = 0 ,   u = 0 e para ϕ = π 2 ,   u = 1

∫ 0 1 u   d u

1 2 u 0 1 = 1 2

Para:

∫ 0 π 2 s e n 3 ϕ cos ⁡ ϕ d ϕ

Façamos u = s e n ( ϕ ) logo d u = cos ⁡ ϕ d ϕ e quando ϕ = 0 ,   u = 0 e para ϕ = π 2 ,   u = 1

∫ 0 1 u 3 d u

1 4 u 4 0 1 = 1 4

Assim:

∫ 0 2 π 1 3 8 - 1 2 - 1 4 d θ

31 12 ∫ 0 2 π d θ

31 12 θ 0 2 π

31 π 6

Resposta

V = 31 π 6

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