Enunciado

Marque o ponto cujas coordenadas cilíndricas são dadas. A seguir, encontre as coordenadas retangulares do ponto.

  1. ( 2 , π / 4 ,   1 )
  2. ( 4 , - π / 3 ,   5 )

Passo 1

  1. Como as coordenadas cilíndricas seguem o padrão ( r , θ , z ) , podemos tirar do ponto que z = 1 , r = 2 e θ = π / 4 então, marcando o ponto no espaço:
  2. Agora convertendo a coordenadas retangulares, temos que z não muda e as outras variáveis x e y seguem o modelo das coordenadas polares para a projeção do ponto no plano x y , então temos seguimos as seguintes fórmulas

    x = r cos ⁡ θ

    y = r sen ⁡ θ

    Temos que

    x = 2 cos ⁡ π 4 = 2 2 2 = 2

    y = 2 sen ⁡ π 4 = 2 2 2 = 2

    z = 1

    Então o ponto é ( 2 , 2 , 1 ) .

    Passo 2

  3. Marcando agora o ponto ( 4 , - π / 3 ,   5 )

Convertendo agora as coordenadas

x = 4 cos ⁡ - π 3 = 4 1 2 = 2

y = 4 s en ⁡ - π 3 = 4 - 3 2 = - 2 3

z = 5

Então o ponto é ( 2 , - 2 3 , 5 ) .

Resposta

  1. ( 2 , 2 , 1 )
  2. ( 2 , - 2 3 , 5 )
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∫ 0 2 π ∫ 0 1 ∫ r 1 2 - r 2 3d zrd rd θ
∫ 0 π ∫ 0 θ π ∫ - 4 - r 2 3 4 - r 2zd zrd rd θ
∫ 0 1 ∫ 0 z ∫ 0 2 π ( r 2 cos 2 ⁡ θ + z 2 )rd θd rd z
∫ 0 2 π ∫ 0 3 ∫ r 2 3 18 - r 2 d zrd rd θ
∫ 0 2 π ∫ 0 1 ∫ - 1 2 1 2 r 2 s e n 2 θ + z 2 d zrd rd θ