Enunciado

Mude de coordenadas retangulares para cilíndricas.

  1. ( 2 3 ,   2 ,   - 1 )
  2. ( 4 , - 3 ,   2 )

Passo 1

a)

Para mudar de coordenadar cartesianas para cilíndricas, usamos o mesmo método das coordenadas polares, sem mexer no z , então

r = x 2 + y 2

tg ⁡ θ = y x

E então tiramos pela arco tangente, encontramos o ângulo, mas temos que analisar em qual quadrante está.

Vamos calcular

r = 2 3 2 + ( 2 ) 2 = 12 + 4 = 4

tg ⁡ θ = 2 2 3 = 1 3 = 3 3

Tirando a arco tangente arctg ⁡ 3 3 = π 6 e o ponto ( 2 3 ,   2 ) está no primeiro quadrante então

θ = π 6

E o nosso ponto em coordenadas cilíndricas é ( 4 , π 6 , - 1 ) .

Passo 2

b)

Para o ponto ( 4 , - 3 ,   2 )

r = ( 4 ) 2 + ( - 3 ) 2 = 16 + 9 = 5

tg ⁡ θ = - 3 4

Como o ponto ( 4 , - 3 ) está no quarto quadrante, a arco tangente vai dar o ângulo exato do ponto então

θ = arctg ⁡ - 3 4

E o nosso ponto em coordenadas cilíndricas é ( 5 , arctg ⁡ - 3 4 , 2 ) .

Resposta

  1. ( 4 , π 6 , - 1 )
  2. ( 5 , arctg ⁡ - 3 4 , 2 )
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Calcule o valor da integral múltipla. ∫ ∫ ∫ Ezd V ondeE é limitado pelos planosy = 0 , z = 0 , x + y = 2 e pelo cilindroy 2 + z 2 = 1 no primeiro octante.
Utilize coordenadas cilíndricas.Calcule ∭ E x d V , onde E está delimitado pelos planos z = 0 e z = x + y + 3 e pelos cilindros x 2 + y 2 = 4 e x 2 + y 2 = 9 .
∫ 0 2 π ∫ 0 3 ∫ 0 z / 3 r 3 d rd zd θ
∫ 0 2 π ∫ 0 θ 2 π ∫ 0 3 + 24 r 2 d zrd rd θ
∫ - 1 1 ∫ 0 2 π ∫ 0 1 + cos ⁡ θ 4 rd rd θd z