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Cálculo - Cálculo - 12ª Edição - Maurice D. Weir e Joel Hass (George B. Thomas) - Capítulo 8.3 - Ex. 35

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Nos Exercícios 35-48, utilize uma substituição apropriada e, em seguida, uma substituição trigonométrica para calcular as integrais.

∫ 0 ln ⁡ 4 e t d t e 2 t + 9

Passo 1

A primeira coisa que precisamos fazer é uma mudança de variável.

u = e t

Derivando dos dois lados:

d u = e t d t

Agora precisamos transformar os limites superior e inferior para a nova variável:

t = 0 → u = e 0 = 1

t = ln ⁡ 4 → u = e ln ⁡ 4 = 4

Passo 2

Substituindo na integral:

∫ 0 ln ⁡ 4 e t d t e 2 t + 9 = ∫ 0 4 d u u 2 + 9

Agora, precisamos fazer uma nova mudança de variável:

u = 3 tan ⁡ θ

Derivando dos dois lados:

d u = 3 sec 2 ⁡ θ d θ

Transformando os limites superior e inferior para a nova variável:

u = 1 → θ = arctan ⁡ 1 / 3

u = 4 → θ = arctan ⁡ 4 / 3

Passo 3

Colocando na integral:

∫ 0 4 d u u 2 + 9 = ∫ arctan ⁡ 1 3 arctan ⁡ 4 3 3 sec 2 ⁡ θ d θ 3 tan ⁡ θ 2 + 9 = ∫ arctan ⁡ 1 3 arctan ⁡ 4 3 3 sec 2 ⁡ θ d θ 9 tan 2 ⁡ θ + 9

∫ 0 4 d u u 2 + 9 = ∫ arctan ⁡ 1 / 3 arctan ⁡ 4 / 3 3 sec 2 ⁡ θ d θ 9 tan 2 ⁡ θ + 1

Lembrando da relação fundamental da trigonometria:

sec 2 ⁡ θ = tan 2 ⁡ θ + 1

Assim,

∫ arctan ⁡ 1 3 arctan ⁡ 4 3 3 sec 2 ⁡ θ d θ 9 tan 2 ⁡ θ + 1 = ∫ arctan ⁡ 1 3 arctan ⁡ 4 3 3 sec 2 ⁡ θ d θ 9 sec 2 ⁡ θ = ∫ arctan ⁡ 1 3 arctan ⁡ 4 3 3 sec 2 ⁡ θ d θ 3 sec ⁡ θ

∫ arctan ⁡ 1 3 arctan ⁡ 4 3 3 sec 2 ⁡ θ d θ 9 tan 2 ⁡ θ + 1 = ∫ arctan ⁡ ( 1 / 3 ) arctan ⁡ ( 4 / 3 ) sec ⁡ θ d θ

Passo 4

Vamos agora multiplicar em cima e embaixo por sec ⁡ θ + tan ⁡ θ :

∫ arctan ⁡ ( 1 / 3 ) arctan ⁡ ( 4 / 3 ) sec ⁡ θ d θ ∙ sec ⁡ θ + tan ⁡ θ sec ⁡ θ + tan ⁡ θ = ∫ arctan ⁡ ( 1 / 3 ) arctan ⁡ ( 4 / 3 ) sec 2 ⁡ θ + sec ⁡ θ tan ⁡ θ sec ⁡ θ + tan ⁡ θ d θ

Agora, precisamos fazer mais uma mudança de variável:

w = sec ⁡ θ + tan ⁡ θ

Derivando dos dois lados:

d w = sec ⁡ θ tan ⁡ θ + sec 2 ⁡ θ d θ

Transformando os limites superior e inferior para a nova variável:

θ = arctan ⁡ 1 3 → w = sec ⁡ arctan ⁡ 1 3 + tan ⁡ arctan ⁡ 1 3 = 1 + 1 3 2 + 1 3

w = 10 + 1 3

θ = arctan ⁡ 4 3 → w = sec ⁡ arctan ⁡ ( 4 / 3 ) + tan ⁡ arctan ⁡ ( 4 / 3 ) = 1 + 4 3 2 + 4 3 = 3

Passo 5

Colocando na integral:

∫ arctan ⁡ ( 1 / 3 ) arctan ⁡ ( 4 / 3 ) sec 2 ⁡ θ + sec ⁡ θ tan ⁡ θ sec ⁡ θ + tan ⁡ θ d θ = ∫ 10 + 1 3 3 d w w

Calculando a integral:

∫ 10 + 1 3 3 d w w = ln ⁡ w 10 + 1 3 3 = ln ⁡ 3 - ln ⁡ 10 + 1 3 = ln ⁡ 3 10 + 1 3 = ln ⁡ 9 10 + 1

∫ 10 + 1 3 3 d w w = ln ⁡ 9 - ln ⁡ 10 + 1

Resposta

ln ⁡ 9 - ln ⁡ 10 + 1

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