Calcule a integral indefinida:

∫ d t 9 - 16 t 2  

Passo 1

Primeiro vamos fazer uma substituição para a integral ficar no formato para aplicar uma substituição trigonométrica:

u = 4 t

d u = 4 d t

Substituindo temos:

∫ d t 9 - 16 t 2   = ∫ 1 4 9 - u 2   d u

Passo 2

Para resolver essa integral vamos fazer uma substituição trigonométrica, temos que a expressão é da forma a 2 - x 2 , nesse formato de expressão vamos fazer u = a sen ⁡ θ e utilizar a identidade trigonométrica sen 2 ⁡ θ + cos 2 ⁡ θ = 1 :

u = 3 sen ⁡ θ → θ = arcsen ⁡ u 3

d u = 3 cos ⁡ θ d θ

Substituindo temos:

∫ 1 4 9 - u 2   d u = ∫ 3 cos ⁡ θ 4 9 - 3 sen ⁡ θ 2   d θ = ∫ 3 cos ⁡ θ 4 9 - 9 sen 2 ⁡ θ   d θ =

= ∫ 3 cos ⁡ θ 4 9 1 - sen 2 ⁡ θ   d θ

Agora usando a identidade trigonométrica:

∫ 3 cos ⁡ θ 4 9 1 - sen 2 ⁡ θ   d θ = ∫ 3 cos ⁡ θ 4 9 cos 2 ⁡ θ   d θ = 3 4 ∫ cos ⁡ θ 3 cos ⁡ θ   d θ = 1 4 ∫ 1 d θ

Passo 3

Agora é fácil achar as primitivas da função, usando uma expressão da Tabela de Integrais Indefinidas:

∫ k   d x = k x + C

Agora é só aplicar:

1 4 ∫ 1 d θ = 1 4 θ + C

Passo 4

Calma, não terminou ainda, não esqueça de voltar para a variável t , é só substituir de volta o que você usou no começo:

∫ d t 9 - 16 t 2   = 1 4 θ + C = 1 4 arcsen ⁡ u 3 + C = 1 4 arcsen ⁡ 4 t 3 + C

Resposta

∫ d t 9 - 16 t 2   = 1 4 arcsen ⁡ 4 t 3 + C

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