Enunciado

Calcule a integral usando a substituição trigonométrica indicada. Esboce e coloque legendas no triângulo retângulo associado.

∫ 1 x 2 x 2 - 9 d x ; x = 3 sec ⁡ θ

Passo 1

Eaee, belezinha?? Bom... queremos calcular a seguinte integral:

∫ 1 x 2 x 2 - 9

Para isso, devemos utilizar a substituição trigonométrica para resolver ela.

Por sorte a questão nos deu a substituição que deveremos fazer:

x = 3 sec ⁡ θ

Com esse dado, devemos fazer um triângulo retângulo associado e analisar como isso nos va ajudar a resolver a questão.

E aí? Bora lá?? 😉

Passo 2

Com a substituição que nos foi dada, vamos isolar o θ para desenharmos o triângulo:

x = 3 sec ⁡ θ ∴

x 3 = sec ⁡ θ ∴

x 3 = 1 cos ⁡ θ ∴

θ = cos - 1 ⁡ 3 x

Com isso, temos o seguinte triângulo retângulo:

Aplicando o Teorema de Pitágoras, encontramos o outro cateto c :

x 2 = 3 2 + c 2 ∴

c = x 2 + 9

Portanto, temos:

Passo 3

A gente tem que x = 3 sec ⁡ θ , e θ varia nos seguintes intervalos: 0 ≤ θ ≤ π 2 e π ��� θ ≤ 3 π 2 .

Assim, se fizermos a derivada de x , a gente tem

d x = 3 sec ⁡ θ tg ⁡ θ d θ

Agora, achando o valor do nosso cateto x 2 - 9 por meio da substituição de x , temos:

x 2 - 9 = 3 sec ⁡ θ 2 - 9 ∴

x 2 - 9 = 9 sec 2 ⁡ θ - 9 ∴

x 2 - 9 = 9 sec 2 ⁡ θ - 1 ∴

x 2 - 9 = 9 tg 2 ⁡ θ ∴

x 2 - 9 = 3 tg ⁡ θ ∴

x 2 - 9 = 3 tg ⁡ θ

para os valores relevantes de θ .

Passo 4

Assim, o valor da nossa integral é:

∫ 1 x 2 x 2 - 9 d x = ∫ 1 9 sec 2 ⁡ θ 3 tg ⁡ θ 3 sec ⁡ θ tg ��� θ d θ ∴

∫ 1 x 2 x 2 - 9 d x = 1 9 ∫ cos ⁡ θ d θ ∴

∫ 1 x 2 x 2 - 9 d x = 1 9 sen ⁡ θ + C ∴

∫ 1 x 2 x 2 - 9 d x = 1 9 x 2 - 9 x + C    

Note que - sec ⁡ ( θ + π ) = sec ⁡ θ , então a figura é suficiente para o caso π ≤ θ ≤ 3 π 2 !

Entendeu direitinho?? Responde aee 😉

Resposta

1 9 x 2 - 9 x + C

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