Enunciado

Nos Exercícios de 1 a 38 ache a área limitada pelas curvas dadas. Em cada problema, faça o seguinte: (a) desenhe uma figura mostrando a região e um elemento de área retangular; (b) expresse a área da região como o limite de uma soma de Riemann; (c) ache o limite na parte (b), calculando uma integral definida pelo segundo teorema fundamental do Cálculo.

31. y = 2 x 3 - 3 x 2 - 9 x ; y = x 3 - 2 x 2 - 3 x

Passo 1

Vamos olhar as curvas e colocar num gráfico a região delimitada por elas com o elemento retangular. Depois escrevemos o limite por soma de Riemann e por fim, calculamos esse limite.

Passo 2

a) Colocando no gráfico, teremos:

Onde o ∆ x representa uma partição do intervalo [ - 2 ,   0 ] e [0,3] no eixo x , onde as curvas se interceptam. ;)

Passo 3

b) Para um soma de Riemann, pela definição 5.5.1, temos:

 lim | | ∆ | | → 0   ⁡ ∑ i = 1 n f ( w i ) ∆ i x = L

(no caso L é o valor da nossa área A )

Mas como assim? Precisamos calcular os retângulos sob a curva e somá-los para então obter a área sob a curva. Então, a área de cada retângulo é f ( w i ) ∆ i x , onde f ( w i ) é a nossa função que tá por cima mas num ponto w i que pertence a ∆ i x . A norma da partição é || ||, quando o limite disso tende a zero, muitos retângulos “finos” serão calculados, melhorando o cálculo da área. Certinho? Vamos escrever esse limite...

A 1 =   lim ∆ → 0 ⁡ ∑ i = 1 n 2 w i 3 - 3 w i 2 - 9 w i - w i 3 - 2 w i 2 - 3 w i ∆ i x =   lim ∆ → 0 ⁡ ∑ i = 1 n ( w i 3 - w i 2 - 6 w i ) ∆ i x

A 2 =   lim | | ∆ | | → 0 ⁡ ∑ i = 1 n [ w i 3 - 2 w i 2 - 3 w i - 2 w i 3 - 3 w i 2 - 9 w i ] ∆ i x =   lim ∆ → 0 ⁡ ∑ i = 1 n ( - w i 3 + w i 2 + 6 w i ) ∆ i x

Ufa, expressão grande mas vamos entender... Dividimos em duas áreas pois a altura dos mini retângulos será a função y = 2 x 3 - 3 x 2 - 9 x (que tá por cima) menos a curva y = x 3 - 2 x 2 - 3 x (que tá por baixo), isso de x = -2 até 0 ( A 1 ) e o contrário de x = 0 até 3 ( A 2 ) .

Então A = A 1 + A 2

Show? =]

Passo 4

c) Agora vamos calcular esse limite

Pela definição 5.5.2 esses limites podem ser calculados como uma integrais de f x d x , assim ó:

A 1 =   lim ∆ → 0 ⁡ ∑ i = 1 n ( x 3 - x 2 - 6 x ) ∆ i x = ∫ - 2 0 ( x 3 - x 2 - 6 x ) d x

A 2 =   lim ∆ → 0 ⁡ ∑ i = 1 n ( - x 3 + x 2 + 6 x ) ∆ i x = ∫ 0 3 ( - x 3 + x 2 + 6 x )   d x

Resolvendo...

A 1 = ∫ - 2 0 ( x 3 - x 2 - 6 x ) d x

A 1 = x 4 4 - x 3 3 - 3 x 2 - 2 0 = [ 0 - ( - 2 ) 4 4 - ( - 2 ) 3 3 - 3 ( - 2 ) 2 ] = 16 3

A 2 = ∫ 0 3 ( - x 3 + x 2 + 6 x ) d x

A 2 = - x 4 4 + x 3 3 + 3 x 2 0 3 = 3 4 4 - 3 3 3 - 3 3 2 - 0 = 63 4

Finalmente:

A = A 1 + A 2 = 253 12

Prontinho, calculamos a área pela soma de Riemann :D

Resposta

a)

b) A =   lim ∆ → 0 ⁡ ∑ i = 1 n ( x 3 - x 2 - 6 x ) ∆ i x +   lim ∆ → 0 ⁡ ∑ i = 1 n ( - x 3 + x 2 + 6 x ) ∆ i x

c) A = 253 12

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Desenhe a curva dada (coordenadas polares ). h ) ρ 2 = 1 1 + sin 2 ⁡ θ
Calcule a área da região limitada pela curva dada(coordenadas polares). a )ρ = 2 - cos ⁡ θ
Calcule a área da intersecção das região limitada pelas curvas dadas em coordenadas polares d )ρ 2 = cos ⁡ θeρ 2 = sin ⁡ θ( ρ ≥ 0 )
Calcule a área da região limitada pela curva dada(coordenadas polares). c ) ρ = cos ⁡ 3 θ
Calcule a área da região limitada pela curva dada(coordenadas polares). b ) ρ 2 = cos ⁡ θ ( ρ ≥ 0 )