Enunciado

Ver Outros Exercícios
desse livro

Nos Exercícios de 1 a 38 ache a área limitada pelas curvas dadas. Em cada problema, faça o seguinte: (a) desenhe uma figura mostrando a região e um elemento de área retangular; (b) expresse a área da região como o limite de uma soma de Riemann; (c) ache o limite na parte (b), calculando uma integral definida pelo segundo teorema fundamental do Cálculo.

31. y = 2 x 3 - 3 x 2 - 9 x ; y = x 3 - 2 x 2 - 3 x

Passo 1

Vamos olhar as curvas e colocar num gráfico a região delimitada por elas com o elemento retangular. Depois escrevemos o limite por soma de Riemann e por fim, calculamos esse limite.

Passo 2

a) Colocando no gráfico, teremos:

Onde o ∆ x representa uma partição do intervalo [ - 2 ,   0 ] e [0,3] no eixo x , onde as curvas se interceptam. ;)

Passo 3

b) Para um soma de Riemann, pela definição 5.5.1, temos:

 lim | | ∆ | | → 0   ⁡ ∑ i = 1 n f ( w i ) ∆ i x = L

(no caso L é o valor da nossa área A )

Mas como assim? Precisamos calcular os retângulos sob a curva e somá-los para então obter a área sob a curva. Então, a área de cada retângulo é f ( w i ) ∆ i x , onde f ( w i ) é a nossa função que tá por cima mas num ponto w i que pertence a ∆ i x . A norma da partição é || ||, quando o limite disso tende a zero, muitos retângulos “finos” serão calculados, melhorando o cálculo da área. Certinho? Vamos escrever esse limite...

A 1 =   lim ∆ → 0 ⁡ ∑ i = 1 n 2 w i 3 - 3 w i 2 - 9 w i - w i 3 - 2 w i 2 - 3 w i ∆ i x =   lim ∆ → 0 ⁡ ∑ i = 1 n ( w i 3 - w i 2 - 6 w i ) ∆ i x

A 2 =   lim | | ∆ | | → 0 ⁡ ∑ i = 1 n [ w i 3 - 2 w i 2 - 3 w i - 2 w i 3 - 3 w i 2 - 9 w i ] ∆ i x =   lim ∆ → 0 ⁡ ∑ i = 1 n ( - w i 3 + w i 2 + 6 w i ) ∆ i x

Ufa, expressão grande mas vamos entender... Dividimos em duas áreas pois a altura dos mini retângulos será a função y = 2 x 3 - 3 x 2 - 9 x (que tá por cima) menos a curva y = x 3 - 2 x 2 - 3 x (que tá por baixo), isso de x = -2 até 0 ( A 1 ) e o contrário de x = 0 até 3 ( A 2 ) .

Então A = A 1 + A 2

Show? =]

Passo 4

c) Agora vamos calcular esse limite

Pela definição 5.5.2 esses limites podem ser calculados como uma integrais de f x d x , assim ó:

A 1 =   lim ∆ → 0 ⁡ ∑ i = 1 n ( x 3 - x 2 - 6 x ) ∆ i x = ∫ - 2 0 ( x 3 - x 2 - 6 x ) d x

A 2 =   lim ∆ → 0 ⁡ ∑ i = 1 n ( - x 3 + x 2 + 6 x ) ∆ i x = ∫ 0 3 ( - x 3 + x 2 + 6 x )   d x

Resolvendo...

A 1 = ∫ - 2 0 ( x 3 - x 2 - 6 x ) d x

A 1 = x 4 4 - x 3 3 - 3 x 2 - 2 0 = [ 0 - ( - 2 ) 4 4 - ( - 2 ) 3 3 - 3 ( - 2 ) 2 ] = 16 3

A 2 = ∫ 0 3 ( - x 3 + x 2 + 6 x ) d x

A 2 = - x 4 4 + x 3 3 + 3 x 2 0 3 = 3 4 4 - 3 3 3 - 3 3 2 - 0 = 63 4

Finalmente:

A = A 1 + A 2 = 253 12

Prontinho, calculamos a área pela soma de Riemann :D

Resposta

a)

b) A =   lim ∆ → 0 ⁡ ∑ i = 1 n ( x 3 - x 2 - 6 x ) ∆ i x +   lim ∆ → 0 ⁡ ∑ i = 1 n ( - x 3 + x 2 + 6 x ) ∆ i x

c) A = 253 12

Exercícios de Livros Relacionados

Use um gráfico para dar uma estimativa grosseira da área da região que
Use um gráfico para dar uma estimativa grosseira da área da região que
Os economistas usam uma distribuição acumulada chamada curva de Lorenz