Enunciado

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Nos Exercícios de 1 a 38 ache a área limitada pelas curvas dadas. Em cada problema, faça o seguinte: (a) desenhe uma figura mostrando a região e um elemento de área retangular; (b) expresse a área da região como o limite de uma soma de Riemann; (c) ache o limite na parte (b), calculando uma integral definida pelo segundo teorema fundamental do Cálculo.

38. y = x + 1 + | x | ; y = 0 ; x = - 2 ; x = 3

Passo 1

Vamos olhar as curvas e colocar num gráfico a região delimitada por elas com o elemento retangular. Depois escrevemos o limite por soma de Riemann e por fim, calculamos esse limite.

Passo 2

a) Colocando no gráfico, teremos:

Onde o ∆ x representa uma partição dos intervalos [ - 2 ,   - 1 ], [-1,0] e [0,3] no eixo x . ;)

Passo 3

b) Para um soma de Riemann, pela definição 5.5.1, temos:

 lim | | ∆ | | → 0   ⁡ ∑ i = 1 n f ( w i ) ∆ i x = L

(no caso L é o valor da nossa área A )

Mas como assim? Precisamos calcular os retângulos sob a curva e somá-los para então obter a área sob a curva. Então, a área de cada retângulo é f ( w i ) ∆ i x , onde f ( w i ) é a nossa função que tá por cima mas num ponto w i que pertence a ∆ i x . A norma da partição é || ||, quando o limite disso tende a zero, muitos retângulos “finos” serão calculados, melhorando o cálculo da área. Certinho? Vamos escrever esse limite...

A =   lim | | ∆ | | → 0 ⁡ ∑ i = 1 n [ | w i + 1 | + | w i | ] ∆ i x

A altura dos mini retângulos será a função y (que tá por cima). Mas vamos dividir para integrarmos as partes sem quina no gráfico. Temos a opção com os valores negativos dos dois módulos (parte descrescente), valor positivo do primeiro e negativo do segundo (parte constante) e os dois módulos positivos (parte crescente). Vamos entender melhor...

Show? =]

Passo 4

c) Agora vamos calcular esse limite

Pela definição 5.5.2 esse limite pode ser calculado como uma integral de f x d x , assim ó:

  lim | | ∆ | | → 0 ⁡ ∑ i = 1 n [ | w i + 1 | + | w i | ] ∆ i x = ∫ - 2 - 1 ( - 2 x - 1 )   d x + ∫ - 1 0 1   d x + ∫ 0 3 2 x + 1   d x

Os 3 trechos que falei (decrescente, constante e crescente)

Resolvendo...

∫ - 2 - 1 ( - 2 x - 1 )   d x + ∫ - 1 0 1   d x + ∫ 0 3 2 x + 1   d x

- x 2 - x - 2 - 1 + x - 1 0 + [ x 2 + x ] 0 3 = 2 + 1 + 12 = 15

Prontinho, calculamos a área pela soma de Riemann :D

Resposta

a)

b) A =   lim | | ∆ | | → 0 ⁡ ∑ i = 1 n [ | w i + 1 | + | w i | ] ∆ i x

c) A = 15

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