Enunciado

Nos Exercícios de 1 a 38 ache a área limitada pelas curvas dadas. Em cada problema, faça o seguinte: (a) desenhe uma figura mostrando a região e um elemento de área retangular; (b) expresse a área da região como o limite de uma soma de Riemann; (c) ache o limite na parte (b), calculando uma integral definida pelo segundo teorema fundamental do Cálculo.

30. x = y 2 - y ; x = y - y 2

Passo 1

Vamos olhar as curvas e colocar num gráfico a região delimitada por elas com o elemento retangular. Depois escrevemos o limite por soma de Riemann e por fim, calculamos esse limite.

Passo 2

a) Colocando no gráfico, teremos:

Onde o ∆ y representa uma partição do intervalo [ 0,1 ] no eixo y . ;)

Passo 3

b) Para um soma de Riemann, pela definição 5.5.1, temos:

 lim | | ∆ | | → 0   ⁡ ∑ i = 1 n f ( w i ) ∆ i y = L

(no caso L é o valor da nossa área A )

Mas como assim? Precisamos calcular os retângulos sob a curva e somá-los para então obter a área sob a curva. Então, a área de cada retângulo é f ( w i ) ∆ i y , onde f ( w i ) é a nossa função que tá por cima mas num ponto w i que pertence a ∆ i y . A norma da partição é || ||, quando o limite disso tende a zero, muitos retângulos “finos” serão calculados, melhorando o cálculo da área. Certinho? Vamos escrever esse limite...

A = 2   lim | | ∆ | | → 0 ⁡ ∑ i = 1 n ( w i - w i 2 ) ∆ i y

A altura dos mini retângulos será a função x = y - y 2 (que tá à direita) menos a curva x = 0 (que tá à esquerda). Multiplicamos por 2 pra ter a área total porque o gráfico é simétrico.

Show? =]

Passo 4

c) Agora vamos calcular esse limite

Pela definição 5.5.2 esse limite pode ser calculado como uma integral de f x d x , assim ó:

  2 lim | | ∆ | | → 0 ⁡ ∑ i = 1 n ( w i - w i 2 ) ∆ i y = 2 ∫ 0 1 ( y - y 2 )   d y

Resolvendo...

2 ∫ 0 1 ( y - y 2 )   d y

2 y 2 2 - y 3 3 0 1 = 2 ( 1 2 - 1 3 ) = 1 3

Prontinho, calculamos a área pela soma de Riemann e deu a mesma coisa :D

Resposta

a)

b) A = 2   lim | | ∆ | | → 0 ⁡ ∑ i = 1 n ( w i - w i 2 ) ∆ i y

c) A = 1 3

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