Enunciado

Nos exercícios de 39 a 42, uma partícula move-se ao longo de uma reta de acordo com a equação dada, onde s cm é a distância orientada da partícula até a origem, em t s. (a) Qual será a velocidade da partícula em t s? (b) Ache a velocidade instantânea da partícula em t s para cada valor dado de t1.

42. s = c o s ⁡ [ π t + 1 ] ;     t 1 é   1 4 ,   3 2

Passo 1

A questão nos dá a função de como a partícula se move sobre uma reta à medida que o tempo passa:

  s ( t ) = c o s ⁡ [ π t + 1 ]

E a letra (a) pede para a gente calcular a velocidade da partícula. Como a velocidade é uma taxa de deslocamento, precisamos fazer a derivada da função s.

Passo 2

Para calcularmos derivada de s, vamos aplicar a Regra da Cadeia. Primeiro fazemos a derivada da função cosseno, que está mais para fora:

d d t c o s x = - s e n x

Então substituímos x pela função de dentro e multiplicamos pela derivada dessa função:

s ' t = - s e n [ π t + 1 ] d d t [ π t + 1 ]

Agora fazemos a derivada que aparece na última conta e multiplicamos pelo resto:

s ' t = - s e n [ π t + 1 ] π

v = s ' t = - π s e n [ π t + 1 ]

Essa será nossa função velocidade

Passo 3

Para a letra (b) basta substituirmos cada um dos valores de t1 que foram dados na nossa função da velocidade,

Para t 1 = 1 4 :

s ' 1 4 = - π s e n π 1 4 + 1 = - π s e n π 4 + π = - π 2 2   c m / s

Para t 1 = 3 2 :

s ' 3 2 = - π s e n π 3 2 + 1 = - π s e n 3 π 2 + π = - π   c m / s

Resposta

  1. v = - π s e n [ π t + 1 ]
  2. Para t 1 = 1 4 → v = - π 2 2   c m / s

Para t 1 = 3 2 → v = - π   c m / s

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