Enunciado

Nos Exercícios de 1 a 40, faça o seguinte: (a) ache os extremos relativos de f pelo teste da primeira derivada; (b) determine os valores de x nos quais os extremos relativos ocorrem; (c) determine os intervalos nos quais f é crescente; (d) determine os intervalos nos quais f é crescente; (e) faça um esboço do gráfico.

34.   f x = 4 - x + 5 2   s e   x < - 4 12 - x + 1 2   s e - 4 ≤ x

Passo 1

Basicamente quase tudo nesse exercício depende de analisarmos a derivada da função e os intervalos onde ela é positiva, negativa e zero.

E usaremos o Teorema 4.4.4 do Capítulo 4, Seção 4 do livro.

Passo 2

Vamos derivar a função fornecida pelo enunciado.

Para x < - 4 temos:

f x = 4 - x + 5 2

f ' x = - 2 ( x + 5 )

Para - 4 ≤ x temos:

f x = 12 - x + 1 2

f ' x = - 2 ( x + 1 )

Passo 3

Agora vamos analisar para qual valores de x a primeira derivada zera.

Para x < - 4 :

- 2 x + 5 = 0

⇒ x + 5 = 0

⇒ x = - 5

Para - 4 < x

- 2 x + 1 = 0

⇒ x + 1 = 0

⇒ x = - 1

Passo 4

Então achamos os valores de x que é ponto crítico de f , que é x = - 5 e x = - 1 . Agora vamos ver o valor de f para tais pontos, jogando os x que encontramos na nossa função.

Para x < - 4 nossa função é:

f x = 4 - x + 5 2

f - 5 = 4 - - 5 + 5 2

= 4

Para - 4 < x , nossa função é:

f x = 12 - x + 1 2

f - 1 = 12 - - 1 + 1 2

= 12

Passo 5

Agora vamos avaliar para quais intervalos f ( x ) é crescente e decrescente, para isso precisamos ver para quais valores de x f ' ( x ) é positiva e para quais valores ela é negativa.

f ' x = - 2 x + 5   s e   x < - 4 - 2 ( x + 1 )   s e - 4 < x

Vemos que para:

x < - 5 → f ' x > 0

Basta avaliar a função em valor um qualquer menor que - 5 .

- 5 < x < - 4 → f ' x < 0

Basta avaliar a função em valor qualquer do intervalo.

- 4 < x < - 1 → f ' x > 0

Basta avaliar a função em valor qualquer do intervalo.

- 1 < x → f ' x < 0

Basta avaliar a função em valor um qualquer maior que - 1 .

Olhando essas avaliações você pode ver que - 4 é um extremo relativo de f x , pois como f ' ( - 4 ) apresenta uma descontinuidade ele é um número crítico de f .

Então segundo o teorema 4.4.4, como a função é crescente antes de - 5 e decrescente depois do mesmo, logo f x = 4 é ponto máximo, como a função é decrescente antes de - 4 e crescente depois do mesmo, logo f x = 3 é ponto mínimo, como a função é crescente antes de - 1 e decrescente depois do mesmo, logo f x = 12 é ponto máximo.

Abaixo temos os resultados resumidos em uma tabela.

Passo 6

Abaixo podemos ver o gráfico da função.

Resposta

  1. f - 5 = 4 e f - 4 = 3 e f - 1 = 12 são extremos relativos.
  2. Em x = - 5 e em x = - 4 e em x = - 1 ocorre extremo relativo.
  3. f ( x ) é crescente em - ∞ , - 5 , - 4 ,   - 1
  4. f ( x ) é decrescente em [ - 5 ,   - 4 ] , [ - 1 , + ∞ )
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