Enunciado

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Seja f x = 4 s e n x 2 . Faça o seguinte:

  1. Ache os extremos relativos de f pelo teste da derivada primeira;
  2. Determine os valores de x nos quais os extremos relativos ocorrem;
  3. Determine os intervalos nos quais f é crescente;
  4. Determine os intervalos nos quais f é decrescente;
  5. Faça um esboço do gráfico.

Passo 1

Observe que f é uma função é contínua e derivável para todo x real. Assim, pelas regras de derivação:

f ' x = 4 cos ⁡ x 2 . 1 2   ⇒

f ' x = 2 cos ⁡ x 2

Como f ' ( x ) existe para todos valores de x , os pontos críticos de f ocorrem quando f ' x = 0 . Assim:

f ' x = 0 ⇒

2 cos ⁡ x 2 = 0 ⇒

cos ⁡ x 2 = 0

Logo:

x 2 = π 2 + 2 k π ,   k ∈ Z ⇒

x = π + 4 k π ,   k ∈ Z

Ou:

x 2 = 3 π 2 + 2 k π ,   k ∈ Z ⇒

x = 3 π + 4 k π ,   k ∈ Z

Assim os pontos críticos de f ocorrem quando x = π + 4 k π ou x = 3 π + 4 k π , com k ∈ Z .

Passo 2

Pelas propriedades das funções trigonométricas, temos que:

→ f ' x < 0 se x ∈ ( π + 4 k π ,   3 π + 4 k π ) . Logo f é decrescente neste intervalo;

→ f ' x > 0 se x ∈ 3 π + 4 k π ,   π + 4 k + 1 π . Logo f é crescente neste intervalo.

Logo f admite mínimo relativo em x = 3 π + 4 k π e máximo relativo em x = π + 4 k π .

Passo 3

Observando o estudo da derivada feito anteriormente podemos fazer um esboço do gráfico de f x = 4 s e n x 2 . O gráfico é dado por:

Resposta

Portanto, f x = 4 s e n x 2 é crescente no intervalo 3 π + 4 k π ,   π + 4 k + 1 π , decrescente no intervalo ( π + 4 k π ,   3 π + 4 k π ) , admite mínimo relativo em x = 3 π + 4 k π e máximo relativo em x = π + 4 k π .

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