Enunciado

Nos Exercícios de 1 a 40, faça o seguinte: (a) ache os extremos relativos de f pelo teste da primeira derivada; (b) determine os valores de x nos quais os extremos relativos ocorrem; (c) determine os intervalos nos quais f é crescente; (d) determine os intervalos nos quais f é crescente; (e) faça um esboço do gráfico.

28. f x = x 2 3 x - 1 2

Passo 1

Basicamente quase tudo nesse exercício depende de analisarmos a derivada da função e os intervalos onde ela é positiva, negativa e zero.

E usaremos o Teorema 4.4.4 do Capítulo 4, Seção 4 do livro.

Passo 2

Vamos derivar a função fornecida pelo enunciado.

f x = x 2 3 x - 1 2

f ' x = 2 3 x 2 3 - 1 x - 1 2 + x 2 3 2 x - 1 ⋅ 1

= 2 3 x - 1 3 x - 1 2 + 2 x 2 3 ( x - 1 )

⇒ f ' x = 2 3 x - 1 3 x - 1 2 + 2 x 2 3 ( x - 1 )

Passo 3

Agora vamos analisar para qual valores de x a primeira derivada zera.

2 3 x - 1 3 x - 1 2 + 2 x 2 3 x - 1 = 0

⇒ 1 3 x - 1 3 x - 1 2 + x 2 3 x - 1 = 0

⇒ x - 1 3 x - 1 2 + 3 x 2 3 x - 1 = 0

Multiplicando os dois lados por x 1 3 :

⇒ x - 1 2 + 3 x ( x - 1 ) = 0

⇒ x 2 - 2 x + 1 + 3 x 2 - 3 x = 0

⇒ 4 x 2 - 5 x + 1 = 0

⇒ x = 5 ± 25 - 16 8

⇒ x = 5 ± 3 8

⇒ x = 1           o u         1 4

Passo 4

Então achamos os valores de x onde ocorrem estremos relativos, que são x = 1 4 e x = 1 . Agora vamos achar os extremos relativos, jogando o x que encontramos na nossa função.

f x = x 2 3 x - 1 2

Primeiro x = 1 4 :

f 1 4 = 1 4 2 3 1 4 - 1 2

= 1 2 2 3 - 3 4 2

= 1 2 2 3 ⋅ 9 16

= 9 32 2 3

Agora x = 1 :

f 1 = 1 2 3 1 - 1 2

= 0

Passo 5

Agora vamos avaliar para quais intervalos f ( x ) é crescente e decrescente, para isso precisamos ver para quais valores de x f ' ( x ) é positiva e para quais valores ela é negativa.

f ' x = 2 3 x - 1 3 x - 1 2 + 2 x 2 3 ( x - 1 )

Vemos que para:

x < 0 → f ' x < 0

Basta avaliar a função em valor qualquer maior que 0.

0 < x < 1 4 → f ' x > 0

Basta avaliar a função em valor qualquer do intervalo.

1 4 < x < 1 → f ' x < 0

Basta avaliar a função em valor qualquer do intervalo.

x > 1 → f ' x > 0

Basta avaliar a função em valor qualquer maior que 1.

Olhando essas avaliações você pode ver que 0 é um extremo relativo de f x , pois como f ' ( 0 ) não é definido ele é um número crítico de f .

Então segundo o teorema 4.4.4, como a função é decrescente antes de 0 e crescente depois do mesmo, logo f 0 = 0 é ponto de mínimo, como a função é crescente antes de 1 4 e decrescente depois do mesmo, logo f x = 9 32 2 3 é ponto máximo e como a função é decrescente antes de 1 e crescente depois do mesmo, logo f x = 0 é ponto mínimo.

Abaixo temos os resultados resumidos em uma tabela.

Passo 6

Abaixo podemos ver o gráfico da função.

Resposta

  1. f 1 4 = 9 32 2 3 , f 1 = 0 e f 0 = 0 são extremos relativos.
  2. Em x = 1 4 , em x = 1 e em x = 0 ocorre extremos relativo.
  3. f ( x ) é crescente em 0 , 1 4 , [ 1 , + ∞ ) .
  4. f ( x ) é decrescente em - ∞ , 0 ,   1 4 ,   1 .
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