Enunciado

Ver Outros Exercícios
desse livro

Nos Exercícios 41-54, utilize a derivação logarítmica para determinar a derivada de y em relação à variável independente dada.

53.

y = x x - 2 x 2 + 1 3

Passo 1

Esse método é bem simples de ser usado, só precisamos aplicar o logaritimo dos dois lado da equação e ir usando suas propriedades para encontrarmos termos mais fáceis de derivar. Então vamo lá:

ln ⁡ y = ln ⁡ x x - 2 x 2 + 1 3

Quando temos um expoente elevando o que está dentro do ln ele vai passar multiplicando o ln, dessa forma:

ln ⁡ y = 1 3 ln ⁡ x x - 2 x 2 + 1

Quando temos uma razão dentro do logaritimo podemos separar como sendo o ln do numerador menos o ln do denominador, dessa forma:

ln ⁡ y = 1 3 ln ⁡ x x - 2 - 1 3 ln ⁡ x 2 + 1

E quando temos um produto dentro do logaritimo, podemos separa como sendo a soma dos logaritimos:

ln ⁡ y = 1 3 ln ⁡ x + 1 3 ln ⁡ x - 2 - 1 3 ln ⁡ x 2 + 1

Passo 2

Show, agora é só derivar dos dois lados:

d d x ln ⁡ y = d d x 1 3 ln ⁡ x + 1 3 ln ⁡ x - 2 - 1 3 ln ⁡ x 2 + 1

Vamos usar a regra da cadeia nesses ln’s:

1 y ⋅ d y d x = 1 3 ⋅ 1 x + 1 3 ⋅ 1 x - 2 ⋅ 1 + 0 - 1 3 ⋅ 1 x 2 + 1 ⋅ 2 x + 0

d y d x = y 1 3 x + 1 3 x - 6 - 2 x 3 x 2 + 3

Agora vamos substituir y

d y d x = x x - 2 x 2 + 1 3 ⋅ 1 3 x + 1 3 x - 6 - 2 x 3 x 2 + 3

Prontinho

Resposta

d y d x = x x - 2 x 2 + 1 3 ⋅ 1 3 x + 1 3 x - 6 - 2 x 3 x 2 + 3

Exercícios de Livros Relacionados

Mostre que lim n → ∞ ⁡ 1 + x n n =   e x , para qualquer x>o
Nos exercícios 55-62, determine a derivada de y com relação a x , t ou
Nos exercícios 55-62, determine a derivada de y com relação a x , t ou
Nos exercícios 41-54, utilize a derivação logarítmica para determinar
Nos exercícios 41-54, utilize a derivação logarítmica para determinar