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A função abaixo satisfaz as hipóteses do teorema do valor médio no intervalo dado? Justifique suas respostas.

f x = x 4 5 ,       [ 0 ,   1 ]

Passo 1

Para que uma função satisfaça as hipóteses do teorema do valor médio, é necessário que:

Seja contínua em todos os pontos do intervalo.

Seja derivável em todos os pontos de seu interior.

Passo 2

Derivando a equação, teremos:

f ' x = 4 5 x - 1 5  

Analisando a equação, definimos o seu domínio como:

x ∈ R x ≠ 0

Quando analisamos a derivada da função, consideramos o intervalo dado como aberto ]a,b[, pois a função precisa ser derivável somente no INTERIOR da função. Os extremos não são considerados.

Resposta

A função é contínua e derivável em todos os pontos do intervalo. Logo, atende o teorema do valor médio.

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