Enunciado

Os exercícios de 43 a 45 referem-se à Seção Suplementar 6.7.

43. Uma tubulação horizontal cilíndrica tem um diâmetro interno de 4m e uma extremidade fechada por um registro circular que se ajusta à tubulação. Se a tubulação contiver água até uma frofundidade de 3m, ache a força no registro, exercida pela pressão da água.

Passo 1

Está questão, trata-se de uma parte que envolve aplicações de integrais definidas. Essas aplicações, podem está relacionada com as mais diversas áreas da engenharia. Para resolver está questão basta utilizar o que foi discutido na seção 6.7 mais conceitos de algumas técnicas de integração vistas até aqui.

Passo 2

Da Seção 6.7, temos que a força exercica pela pressão da água no registro é dada por:

F = 2 ρ g ∫ 0 3 x 4 - ( 1 - x ) 2 d x

Sendo assim, para o cálculo da força em questão nosso problema se resume em resolver a integral definida acima.

Passo 3

A integral pode ser calculada utilizando o conceito de substituição trigonométrica, ficando com:

x - 1 = 2 s e n θ         e         d x = 2 c o s θ d θ

A partir daí podemos obter quais são os limites de variação de θ substituindo os valors de x do limite de integração e obentendo que θ pertence ao intervalo fechado   - π 6 , π 2 .

Assim, temos que:

4 - ( 1 - x ) 2 = 4 - 4 s e n 2 θ = 2 c o s θ

Logo, a integral pode ser reescrita como:

= F = 2 ρ g ∫ 0 3 x 4 - ( 1 - x ) 2 d x = 2 ρ g ∫ - π 6 π 2 1 + 2 s e n θ . 2 c o s θ ( 2 c o s θ d θ ) =

= 8 ρ g ∫ - π 6 π 2 cos 2 ⁡ θ d θ + 16 ρ g ∫ - π 6 π 2 cos 2 ⁡ θ s e n θ d θ =

= 4 ρ g . θ + 1 2 s e n 2 θ - π 6 π 2 + 16 ρ g 3 . cos 3 ⁡ θ - π 6 π 2 =

ρ g 8 π 3 + 3 3

A força em questão é igual a:

F = ρ g 8 π 3 + 3 3

Para obter o seu valor exato, basta substituir o valor exato da massa especifica da água de acordo com as unidades do enunciado da questão.

Resposta

F = ρ g 8 π 3 + 3 3

Ver Outros Exercícios desse livro

Exercícios de Livros Relacionados

Calcule ∫ x 2 + 1 2 x - x 2 d x
Indique uma mudança de variável que elimine a raiz do integrando ∫ 3 - 4 x 2d x
Indique uma mudança de variável que elimine a raiz do integrando ∫ x 2 - 9d x
Indique uma mudança de variável que elimine a raiz do integrando. ∫ 1 + x 3 d x
Indique uma mudança de variável que elimine a raiz do integrando. ∫ x x - 1 d x