Enunciado

35.Um dia em um campus universitário com 5.000 alunos, onde se esperava uma assembleia estudantil um aluno ouviu que certo estudande polêmico iria fazer, durante a assembleia, um discurso explosivo. Essa informação foi transmitida para amigos que, por sua vez, a transmitiram a outros. A taxa com que se espalhou a informação é conjuntamente proporcional ao número de pessoas que ouviram a informação e ao número de pessoas que não a ouviram. (a) se após 10min 144 pessoas ouviram a informação, ache o modelo matemático que descreve a divulgação da notícia. Quantas pessoas terão ouvido a notícia (b) após 15min e (c) após 20min? (d) Quantas pessoas eventualmente ouvirão a notícia?

Passo 1

Como trata-se de um enunciado bem grande, para resolver este tipo de problema devemos tirar todas as informações do enunciado e aplicar os conceitos de cálculo desenvolvidos até aqui para dar sequência na resolução da questão.

Passo 2

Como foi dito no enunciado da questão, a taxa com que se espalhou a informação é proporcional, sendo assim ela pode ser escrita como:

d y d t = k y ( 5000 - y )

Passando tudo que depende de y para um lado e tudo que depende de t para o outro ficamos com:

k . d t = d y y 5000 - y

Integrando ambos os lados da equação vem:

∫ k . d t = ∫ d y y 5000 - y = 1 5000 ∫ 1 y + 1 5000 - y d y

k t = 1 5000 ln ⁡ C y 5000 - y

Passo 3

Agora precisamos aplicar as condições de contorno fornecidas no enunciado para descobrimos os valores das constantes C e k , deixando a expressão somente em função do tempo:

Q u a n d o   t = 0 ,   y = 1   e   a s s i m   t e m o s   0 = 1 5000 ln ⁡ C 4999 ; C = 4999

Logo a nossa expressão fica igual a :

5000 k t = ln ⁡ 4999 y 5000 - y

Do enunciado também, temos que:

Q u a n d o   t = 10 m i n ,   y = 1 44   e   a s s i m   t e m o s   ( 5000 k ) 10 = ln ⁡ 4999 . 144 5000 - 144 ; 5000 k = 0,5

Logo a nossa expressão fica igual a :

0,5 t = ln ⁡ 4999 y 5000 - y

Passo 4

Letra (a)

Ao explicitarmos em função de y nossa função fica da seguinte forma:

y = 5000 1 + 4999 e - 0,5 t

Passo 5

Letra (b)

Para t=15min, teremos que:

y 15 = 5000 1 + 4999 e - 7,5 = 1328   p e s s o a s  

Passo 6

Letra (c)

Para t=20min, teremos que:

y 20 = 5000 1 + 4999 e - 10 = 4075   p e s s o a s  

Passo 7

Letra (d)

Para descobrir quantas pessoas eventualmente ouvirão a notícia basta descobrirmos qual será o valor limite da função y ( t ) . Sendo assim:

lim t → ∞ ⁡ 5000 1 + 4999 e - 0,5 t = 5000

Logo, todas as 5000 pessoas ouvirão o rumor.

Resposta

Letra (a)

y = 5000 1 + 4999 e - 0,5 t

Letra (b) 1328   p e s s o a s

Letra (c)

4075   p e s s o a s

Letra (d)

5000

Ver Outros Exercícios desse livro

Exercícios de Livros Relacionados

Exercício: 44 – Calcule a integral abaixo: ∫ x - 2 2 t g - 1 2 x - 12 x 3 - 3 x 4 x 2 + 1 x - 2 2 d x
Exercício: 56 – determine o volume do sólido gerado pela rotação da região sombreada em torno do eixo indicado. Eixo y:
Exercício: 60 a - Muitas reações químicas são o resultado da interação de duas moléculas que sofrem modificação para produzir um novo produto. A velocidade da reação depende, em geral, da concentração
Exercício: 59 - Às vezes, sociólogos usam a expressão "difusão social" para descrever o modo como a informação se espalha por uma população. A informação pode ser um boato, uma novidade cultural ou no
Exercício: 60 a - Muitas reações químicas são o resultado da interação de duas moléculas que sofrem modificação para produzir um novo produto. A velocidade da reação depende, em geral, da concentração