Enunciado

Os exercícios de 43 a 45 referem-se à Seção Suplementar 6.7.

44. Uma comporta num canal de irrigação tem a forma de um segmento de círculo com 40cm de raio. A parte superior da comporta é horizontal e 30cm acima do ponto mais baixo. Se o nível da água estiver 20cm acima da borda da comporta, ache a força sobre ela, exercicida pela pressão da água.

Passo 1

Está questão, trata-se de uma parte que envolve aplicações de integrais definidas. Essas aplicações, podem está relacionada com as mais diversas áreas da engenharia. Para resolver está questão basta utilizar o que foi discutido na seção 6.7 mais conceitos de algumas técnicas de integração vistas até aqui

Passo 2

Da Seção 6.7, temos que a força exercica pela pressão da água no registro é dada por:

F = 2 ρ g ∫ 1 4 1 + x 16 - x 2 d x = 2 ρ g ∫ 1 4 16 - x 2 d x + ∫ 1 4 x 16 - x 2 d x

Sendo assim, para o cálculo da força em questão nosso problema se resume em resolver as duas integrais definidas acima.

Passo 3

A segunda integral pode ser calculada por:

∫ 1 4 x 16 - x 2 d x = - 1 2 ∫ 1 4 16 - x 2 1 2 - 2 x d x = 1 2 . 2 3 16 - x 2 3 2 1 4 = 5 15

Passo 4

A primeira integral pode ser calculada utilizando o conceito de substituição trigonométrica, ficando com:

x = 4 s e n θ         e         d x = 4 c o s θ d θ

Assim, temos que:

16 - x 2 = 16 - 16 s e n 2 θ = 4 c o s θ

Logo, a integral pode ser reescrita como:

∫ 1 4 16 - x 2 d x = ∫ s e n - 1 1 4 π 2 4 c o s θ 4 c o s θ d θ = 8 . ∫ s e n - 1 1 4 π 2 1 + c o s 2 θ d θ =

= 8 . θ + 1 2 s e n 2 θ s e n - 1 1 4 π 2 = 8 . θ + 2 2 . s e n θ c o s θ s e n - 1 1 4 π 2 =

= 8 π 2 - s e n - 1 1 4 + 1 15 4

A força em questão é igual a:

F = 2 ρ g 4 π - 8 s e n - 1 1 4 - 1 2 15 + 5 15

Para obter o seu valor exato, basta substituir o valor exato da massa especifica da água de acordo com as unidades do enunciado da questão.

Resposta

F = 2 ρ g 4 π - 8 s e n - 1 1 4 - 1 2 15 + 5 15

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