Enunciado

Expresse e x 2 e cos ⁡ x como polinômios de Maclaurin de grau 4 e use-os para calcular

lim x → 0 ⁡ e x 2 - cos ⁡ x x 4

Passo 1

Para calcularmos a formula de Taylor, temos que lembrar como ela é:

P n x = ∑ i = 0 n f i x 0 i ! x - x 0 i

Para calcular o polinômio de Taylor, temos que determinar que é o ponto central do polinômio, o nosso x 0 , e fazer as derivadas para achar o seu padrão.

Ele quer os polinômios de Maclaurin, que é o polinômio de Taylor centrado no 0 .

Então, vamos ter:

x 0 = 0

Para ambas as funções.

Vamos começar fazendo o polinômio de Taylor de e x 2

Passo 2

Temos:

f x = e x 2  

Derivar essa função um monte de vezes vai ser uma coisa de maluco. Então temos que usar o polinômio de Taylor da função e x e depois trocar o x por x 2 .

Vamos fazer:

g x = e x

E

P 4 x = ∑ i = 0 4 g i 0 i ! x i

Vamos para as derivadas agora, vamos ter:

g x = e x

Fazendo as derivadas:

g ' x = e x

g ' ' x = e x

g ' ' ' x = e x

g i v x = e x

Então vamos ter:

g 0 = e 0 = 1

g ' 0 = e 0 = 1

g ' ' 0 = e 0 = 1

g ' ' ' 0 = e 0 = 1

g i v 0 = e 0 = 1

Passo 3

O polinômio de Maclaurin de e x vai ser:

P 4 x = ∑ i = 0 4 x i i !

Abrindo o polinômio:

P 4 x = 1 + x + x 2 2 ! + x 3 3 ! + x 4 4 !

P 4 x = 1 + x + x 2 2 + x 3 6 + x 4 24

Temos que colocar x 2 no lugar do x

e x 2 = 1 + x 2 + x 2 2 2 + x 2 3 6 + x 2 4 24

e x 2 = 1 + x 2 + x 4 2 + x 6 6 + x 8 24

Como ele pediu o de grau 4 , vamos pegar só até o x 4

e x 2 = 1 + x 2 + x 4 2

Passo 4

Temos:

f x = cos ⁡ x  

Vamos ter:

P 4 x = ∑ i = 0 4 f i 0 i ! x i

Vamos para as derivadas agora, vamos ter:

g x = cos ⁡ x

Fazendo as derivadas:

g ' x = - sen ⁡ x

g ' ' x = - cos ⁡ x

g ' ' ' x = sen ⁡ x

g i v x = cos ⁡ x

Então vamos ter:

g 0 = 1

g ' 0 = 0

g ' ' 0 = - 1

g ' ' ' 0 = 0

g i v 0 = 1

Passo 5

O polinômio de Maclaurin de cos ⁡ x vai ser:

P 4 x = f 0 0 ! + f ' 0 1 ! x + f ' ' 0 2 ! x 2 + f ' ' ' 0 3 ! x 3 + f i v 0 4 ! x 4

Substituindo os valores:

P 4 x = 1 - x 2 2 + x 4 4 !

P 4 x = 1 - x 2 2 + x 4 24

Passo 6

O nosso limite vai ficar:

lim x → 0 ⁡ e x 2 - cos ⁡ x x 4 = lim x → 0 ⁡ 1 + x 2 + x 4 2 - 1 - x 2 2 + x 4 24 x 4 =

lim x → 0 ⁡ 1 + x 2 + x 4 2 - 1 + x 2 2 - x 4 24 x 4

lim x → 0 ⁡ 3 2 x 2 + 11 x 4 24 x 4 = lim x → 0 ⁡ 3 2 x 2 + 11 24 = 3 0 + 11 24 = ∞

Resposta

Ver Outros Exercícios desse livro

Exercícios de Livros Relacionados

Ache o polinômio de Taylor do enésimo grau com resto de Lagrange no número a e para a função definida pela equação dada. f x = 1 + x 3 / 2 , a = 0 ,n = 3
Nos exercícios de 1 a 14, ache o polinômio de Taylor do enésimo grau com resto de Lagrange no número a para a função definida pela equação dada.6 .f x = c o s h x ; a = 0 ; n = 4 .
Nos exercícios de 1 a 14, ache o polinômio de Taylor do enésimo grau com resto de Lagrange no número a para a função definida pela equação dada.2.f x = e - x ; a = 0 ; n = 4 .
Nos exercícios de 1 a 14, ache o polinômio de Taylor do enésimo grau com resto de Lagrange no número a para a função definida pela equação dada.7 .f x = s e n h x ; a = 0 ; n = 4 .
Determinar o polinômio de Taylor de ordem n , no ponto c dado, das seguintes funções: f x = c o s 2 x ; c = 0e π 2 ; n = 6