Enunciado

Nos exercícios de 47 a 56 , calcular a área limitada pela curva dada.

Passo 1

Sabendo que a equação que define a área de uma curva é dada por:

A = 1 2 ∫ θ 0 θ 1 f θ 2 d θ

Se torna necessário definir o intervalo de integração necessário.

Para auxiliar na resolução do exercício, pode-se notar que a equação dada representa um limaçom visto que ela tem a forma de:

r = a ± b c o s θ

Além disso, visto que a função cosseno é par c o s ⁡ ( θ ) = cos ⁡ - θ , ela é simétrica em relação ao eixo polar. Dessa forma é possível calcular metade do comprimento da curva de 0 a π , tal que o comprimento total será duas vezes o resultado obtido.

Passo 2

Portanto, substituindo na equação da área da curva:

A = 2 1 2 ∫ 0 π 4 - 4 c o s θ 2 d θ

A = ∫ 0 π 16 - 32 c o s θ + 16 c o s 2 θ d θ

Lembrando da identidade trigonométrica:

c o s 2 n x = 1 + cos ⁡ 2 n x 2

Então:

A = ∫ 0 π 16 - 32 c o s θ + 16 2 + 16 cos ⁡ 2 θ 2 d θ

A = ∫ 0 π 24 - 32 c o s θ + 8 cos ⁡ 2 θ d θ

Passo 3

Logo, resolvendo a integral:

A = 24 θ - 32 s e n θ + 4 s e n 2 θ | π 0

E substituindo os limites de integração:

A = 24 π - 32 s e n π + 4 s e n 2 π

Logo:

A = 24 π   u . a .

Resposta

24 π   u . a .

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