Enunciado

( a ) O gráfico de y = f ( x ) pode interceptar uma assíntota vertical? E uma assíntota Horizontal? Ilustre com gráficos.

( b ) Quantas assíntotas horizontais pode ter o gráfico de y = f ( x ) ? Ilustre com gráficos as possibilidades.

Passo 1

Bora lá! Vamos entender esse problema!!

Antes da gente começar qualquer coisa, o enunciado fala sobre “o gráfico de y = f ( x ) ” mas que gráfico é esse?!

Aqui a gente vai assumir que y = f ( x ) é um gráfico qualquer que possua uma assíntota!

Com isso em mente, vamos nessa!!!

Passo 2

Começando pela letra (a) que pergunta se o gráfico de y = f ( x ) pode interceptar uma assíntota vertical e uma assíntota horizontal e pede pra a gente ilustrar.

Uma assíntota vertical de uma função qualquer, f ( x ) , é uma equação do tipo x = a , sendo a uma constante, ou seja, uma reta.

Ela aparece quando a gente tem o limite da função f ( x ) , da seguinte forma:

lim x → a ⁡ f ( x ) = ± ∞

Nesse caso dizermos que x = a é uma assíntota.

Mas só de observar o limite a gente vê que x = a apenas no inifinito, ou menos infinito! Na prática f ( x ) chega muito perto de interceptar a assíntota, mas nunca chega nela!

Pra ilustrar, vamos fazer f x = 1 x - 1 :

Nesse caso a assíntota é x = 1 e como a gente pode ver, a função não a intercepta!

Passo 3

Agora, seguindo o mesmo raciocínio, vamos pensar no que é uma assíntota horizontal.

Aí você me fala: Se uma assíntota vertical vai ser uma “reta na vertical” então uma assíntota horizontal é uma “reta na horizontal”, correto?!

Isso aêee!

E ela vai acontecer na seguinte situação:

lim x → ± ∞ ⁡ f x = b

E o que tá acontecendo aqui?! Quando a gente joga x para mais infinito ou menos infinito f ( x ) é igual a b , logo a assíntota é y = b .

Mas temos um porém: nós podemos, sim, interceptar assíntotas horizontais! Para ilustrar, temos as funções do próprio livro.

Elas são as figuras 2, 3 e 7, por exemplo. Nelas, podemos ver que o gráfico intercepta a assíntota horizontal. Beleza??

Passo 4

Agora a gente quer saber quantas assíntotas um gráfico de uma função f ( x ) pode ter!!

E ela pode ter uma, duas ou nenhuma assíntota! Vamos ver alguns exemplos!

Uma assíntota:

Duas assíntotas:

Nenhuma assíntota:

Resposta

  1. Um gráfico f ( x ) não pode interceptar nem uma assíntota vertical, mas pode interceptar a horizontal.
  2. f ( x ) pode ter uma, duas ou nenhuma assíntota.
Ver Outros Exercícios desse livro

Exercícios de Livros Relacionados

Nos exercícios de 49 a 56, encontre as assíntotas horizontal e vertical e faça um esboço do gráfico da equação 4 9 )3 x y - 2 x - 4 y - 3 = 0
Nos exercícios de 49 a 56, encontre as assíntotas horizontal e vertical e faça um esboço do gráfico da equação 5 2 )x y 2 + 3 y 2 - 9 x = 0
Nos exercícios de 49 a 56, encontre as assíntotas horizontal e vertical e faça um esboço do gráfico da equação 5 1 )x 2 y 2 - x 2 + 4 y 2 = 0
Nos exercícios de 49 a 56, encontre as assíntotas horizontal e vertical e faça um esboço do gráfico da equação 5 6 )x 2 y + 4 x y - x 2 + x + 4 y - 6 = 0
Nos exercícios de 49 a 56, encontre as assíntotas horizontal e vertical e faça um esboço do gráfico da equação 5 3 )y 2 - 1 x - 3 = 6