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Nos Exercícios de 51 a 56, ache d y d x .

54)   y = 1 x - 1

Passo 1

f ' ( x ) = lim ∆ x → 0 ⁡ f x 1 + ∆ x - f ( x 1 ) ∆ x

Assumindo que f ( x ) = 1 x - 1 , temos:

f x 1 + ∆ x = 1 x 1 + ∆ x - 1 e

f x 1 = 1 x 1 - 1

Logo, aplicando na definição:

f ' ( x ) = lim ∆ x → 0 ⁡ 1 x 1 + ∆ x - 1   - [ 1 x 1 - 1 ] ∆ x

Multiplicando pelo conjugado do numerador, podemos utilizar a diferença de quadrados ( a 2 - b 2 = a + b . a - b ) e eliminar a indeterminação, veja:

f ' x = lim ∆ x → 0 ⁡ 1 x 1 + ∆ x - 1   - 1 x 1 - 1 ∆ x . 1 x 1 + ∆ x - 1 + [ 1 x 1 - 1 ] 1 x 1 + ∆ x - 1 + [ 1 x 1 - 1 ]

Fazendo os devidos cancelamentos, temos:

f ' x = - 1 2 . x - 1 3

Resposta

d y d x = - 1 2 . x - 1 3

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