Enunciado

21-31 Encontre a derivada da função dada usando a definição. Estabeleça os domínios da função e da derivada.

22 .   f x = 12 + 7 x

Passo 1

Beleza meu parceiro? Pronto para mais uma resolução? Hoje a gente vai resolver uma derivada!!!!

Então, aqui nos é dada uma função:

f x = 12 + 7 x

E nos é pedido para encontrarmos a sua derivada utilizando a definição de derivada. Para isso iremos utilizar a equação:

  f ´ x = lim h → 0 ⁡ f x + h - f ( x ) h

Devemos então resolver esse limite para encontrarmos a derivada.

Em relação ao domínio da função e da sua derivada, o domínio é o conjunto de valores de x  que nossa função aceita. Iremos analisar as funções e descobrir quais valores são esses a partir de possíveis restrições da nossa função.

Entende-se como restrições valores de x que darão problemas para a nossa função, como denominadores nulos, valores negativos em raízes pares, etc.

Passo 2

Colocarei aqui a equação para calcular a derivada de f ( x ) .

f ´ x = lim h → 0 ⁡ f x + h - f ( x ) h

Vamos anotar aqui os valores que estão na expressão da derivada!

f x + h = 12 + 7 x + h

f x + h = 12 + 7 x + 7 h

f x = 12 + 7 x

Substituindo tudo dentro da derivada, temos:

f ´ x = lim h → 0 ⁡ 12 + 7 x + 7 h - 12 + 7 x h

Realizando o jogo de sinais do segundo termo:

f ´ x = lim h → 0 ⁡ 12 + 7 x + 7 h - 12 - 7 x h

Simplificando os termos semelhantes:

f ´ x = l i m h → 0 7 h h

Cortando h de cima com h de baixo, temos:

f ´ x = l i m h → 0 7 = 7

Temos então nossa derivada.

Passo 3

O domínio de f ' ( x ) e de f ( x ) é conjunto dos números Reais, já que não há nenhuma restrição quanto a valores para substituir na expressão de f ' ( x ) e f ( x ) .

D f x = R

D f ' x = R

Resposta

f ´ x = 7

D f x = R

D f ' x = R

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