Nos Exercícios 51-70, determine dy/dt

58. y = (e^(sen(t / 2)))^3

Passo 1

Reescrevendo a função y de outra forma, teremos:

y =   e 3 . s e n   t 2

De ínicio, galera, precisamos lembrar de como derivamos uma função exponencial, belê? Para derivarmos uma função exponencial, a relação é essa aqui:

a f t ' = a f t . ln ⁡ a .   ( f ( t ) ) '

Sendo assim, a única coisa que precisamos determinar então é ( f ( t ) ) ' . No nosso caso, temos que:

f t = 3 . s e n   t 2

Passo 2

Então guys, para derivarmos essa função f , basta que utilizemos a regra da cadeia que, nesse caso, se mostra bem tranquila. Se liga como vai ficar f ' :

f t ' = 3 . cos ⁡ ( t 2 ) . ( t 2 ) '

∴ f t ' = 3 2 . cos ⁡ ( t 2 )

Passo 3

Agora que temos tudo que precisamos, basta substituirmos lá na regra que comentamos no ínicio, se liga:

d y d t = e 3 . s e n   t 2 . ln ⁡ e . 3 2 . cos ⁡ ( t 2 )

∴ d y d t = 3 2 . e 3 . s e n   t 2 . cos ⁡ ( t 2 )

Resposta

d y d t = 3 2 . e 3 . s e n   t 2 . cos ⁡ ( t 2 )

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