Nos Exercícios 51-70, determine dy/dt

64. y = (1 / 6) \* (1 + cos^2(7t))^3

Passo 1

Para resolvermos essa questão, a regra que utilizaremos é a regra da cadeia, beleza? No entanto, utilizaremos ela DUAS vezes. Sim, duas vezes! A primeira vez vai para derivar a função como um todo; a segunda vai ser para derivar aquela função cosseno ali, beleza? Derivando a primeira vez, teremos:

d y d t =   1 6 . 3 . 1 + c o s 2 7 t 2 . 1 + c o s 2 7 t '

∴ d y d t = 1 2 . 1 + c o s 2 7 t 2 . 1 + c o s 2 7 t '

Passo 2

Agora que descobrimos a cara da derivada, basta que apliquemos uma regra da cadeia na função que queremos derivar, que nesse caso é g t = 1 + c o s 2 7 t ' . Lembrando que a regra da cadeia nos diz que:

d g d t = d g d u × d u d t

u = cos ⁡ ( 7 t ) ⇒   d u d t = - 7 . s e n   ( 7 t )

g = u 2 ⇒   d g d u = 2 u

Jogando na regra da cadeia, temos:

d g d t = 2 u . ( - 7 . s e n   7 t )

∴ d g d t = - 14 . cos ⁡ 7 t . s e n ( 7 t )

Passo 3

Agora que temos todos os dados que precisamos, basta substituirmos lá em d y d t para obtermos o resultado final, se liga:

d y d t = 1 2 . 1 + c o s 2 7 t 2 . 1 + c o s 2 7 t '

d y d t = 1 2 . 1 + c o s 2 7 t 2 . - 14 . cos ⁡ 7 t . s e n 7 t  

∴ d y d t = - 7 . 1 + c o s 2 7 t 2 . cos ⁡ 7 t . s e n 7 t

Resposta

d y d t = - 7 . 1 + c o s 2 7 t 2 . cos ⁡ 7 t . s e n 7 t

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