Enunciado

Nos Exercícios 7-10, identifique, a partir de seu gráfico, se a função é injetora.

9. f x = 1 - x 2 ,     x ≤ 0 x x + 2 ,     x > 0

Passo 1

Para resolvermos os exercícios do 7-10, devemos lembrar da definição de função injetora, tudo bem?

Uma função f ( x ) é injetora em um domínio D se f ( x 1 ) ≠ f ( x 2 ) , sempre que x 1 ≠ x 2 em D .

Há duas formas de provar se uma função é injetora ou não. A primeira é pelo gráfico. Se traçarmos uma reta paralela ao eixo x (imaginária) e o gráfico da função tocar a reta 2 vezes, isso implica que a função não é injetora; mas caso toque apenas 1 vez, isso implica que a função é injetora.

A segunda maneira é usando a definição e atribuindo valores a x , ou seja, se aplicarmos 2 valores distintos de x na função e der o mesmo valor de y , isso implica que a função não é injetora.

Passo 2

Agora que sabemos como provar a injetividade, vamos plotar o gráfico das funções que nos foi dada, beleza? O gráfico vai ser o seguinte:

No qual f x = 1 - x 2 é a função verde e f x =   x x + 2 é a função azul.

Passo 3

Por fim, se utilizarmos a primeira maneira para provar se a função é injetora, teremos:

Para x ≤ 0 ⇒ f x = 1 - x 2 . Sendo assim, se traçarmos retas paralelas ao eixo x é nítido que as retas não tocarão a função em mais de um ponto, ou seja:

Portanto, para x ≤ 0 , f ( x ) é injetora!

Para x > 0   ⇒ f x =   x x + 2 . Sendo assim, se também traçarmos retas paralelas ao eixo x é nítido que as retas não tocarão a função em mais de um ponto, ou seja:

Portanto, para x > 0 , f x é injetora!

Como para todo o domínio de x as funções se mostraram injetoras, isso implica que f ( x ) é injetora!

Resposta

f x é injetora.

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