Enunciado

Nos Exercícios 7-14, determine uma linearização em um inteiro escolhido convenientemente próximo a x 0 em que a função dada e sua derivada sejam fáceis de calcular.

14-

f x = s i n x - 1   , x 0 = π 12

Passo 1

Fala ai pessoal!! Bora lá, então para fazer a derivada do arco seno x, primeiro eu posso fazer a seguinte troca.

y = f ( x )

sin ⁡ y = x

Agora faremos a derivação implícita dos dois lados:

cos ⁡ y d y d x = 1  

Onde a parcela d y / d x se encontra por conta da regra da cadeia.

E queremos saber quanto vale d y d x

d y d x = 1 cos ⁡ y

Problema que está em função de y e quero em função de x. Só que olha só o que eu tenho:

x = s i n y  

cos ⁡ y         q u e         e s t a   a t r a p a l h a n d o

Se eu aplicar a relação fundamental eu posso ter:

cos 2 ⁡ y + sin 2 ⁡ y = 1

c o s y = 1 - sin 2 ⁡ y

Ou

c o s y = 1 - x 2

Logo:

d y d x = 1 1 - x 2

Passo 2

O ponto para substituir por uma mais conveniente é π / 12

Se convertermos essa função para graus teremos:

π - - - - - 180

π 12 - - - - - g r a u s

Se fizermos essa regra de três veremos que p i 12 é equivalente a 15 graus. Logo é melhor substituirmos esse ponto para 0,uma vez que 30 não me ajudaria muito com as contas. Então vamos lá.

Substituindo o valor de x na função, teremos:

f 0 = sin - 1 ⁡ 0 = 0

É o valor de x cujo seno da 0, 0 satisfaz, assim como 2 π   também satisfaria.

Agora jogando esse valor na função derivada, nós encontramos:

f ' 0 = 1 1 - 0 2 = 1

Multiplicando o resultado da derivada por ( x - a ) encontramos:

1 x - 0 = x

Passo 3

Juntando os termos temos :

L x = x + 0

Resposta

L x = x

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