Calcule a integral ∫ ϴ .   c o s   ( π . ϴ )   d ϴ usando integração por partes.

Passo 1

O enunciado pede que para resolvermos essa integral utilizemos a integração por partes, para isso é preciso lembrar da fórmula:

∫ u   d v = u . v -   ∫ v   d u

Passo 2

Escolher o valor de “u” e de “dv”, sendo que “u” é o valor que será derivado e o de “dv” será integrado.

u   =   ϴ

Pois é o valor mais simples de derivar.

d u   =   ϴ ’ .   d ϴ              

d u   =   1   .   d ϴ    

d u   =   d ϴ  

d v   =   c o s   ( π . ϴ )   d ϴ

v   =   ∫   c o s   π . ϴ d ϴ

v   =     s e n   ( π . ϴ ) π

OBS: Quando tivermos ∫ c o s   ( K . x )   d x , sendo K uma constante, então utilizamos a fórmula que vem do método da substituição: ∫ c o s   ( K . x )   d x = s e n ⁡ ( K . x ) K +c , o C será acrescentado no resultado final, a constante da questão é π.

Passo 3

Substituir os valores encontrados na fórmula da integração por partes.

∫ u   d v = u . v -   ∫ v   d u

∫ ϴ .   c o s   ( π . ϴ )   d ϴ   =   ϴ .   s e n   ( π . ϴ ) π -   ∫   s e n   π . ϴ π   d ϴ

=     ϴ . s e n   ( π . ϴ ) π - 1   π   ∫ s e n   π . ϴ   d ϴ

=     ϴ . s e n   ( π . ϴ ) π -   1   π   .   [ - c o s ⁡ π . ϴ ] π

=     ϴ . s e n   ( π . ϴ ) π + c o s ⁡ π . ϴ   π 2 + c

Resposta

∫ ϴ .   c o s   ( π . ϴ )   d ϴ   =     ϴ . s e n   ( π . ϴ ) π + c o s ⁡ π . ϴ   π 2 + c

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