Enunciado

Nos Exercícios 9-22, substitua a integral cartesiana por uma integral equivalente. Em seguida, calcule a integral polar.

∫ - 1 0 ∫ - 1 - x 2 0 2 1 + x 2 + y 2 d y   d x

Passo 1

Faaaala, cara! Tranquileba?

Das coordenadas polares temos que:

x = r cos ⁡ θ

y = r   s e n θ

x 2 + y 2 = r 2

E em caso de dúvidas, vejamos a figura para que possamos entender melhor.

E em se tratando de integrais, quando transformamos uma integral para coordenadas polares, temos que adicionar o jacobiano das coordenadas polares, que no caso é r .

Passo 2

Não sei se lembra, meu/minha amigo[a], mas no capítulo anterior aprendemos a fazer o gráfico de uma função polar dado sua integral.

Em resumo, a primeira integral é a função geradora do gráfico, a segunda corresponde os pontos as funções se interceptam.

Neste caso temos as funções:

y = 0

y = - 1 - x 2

E temos a seguinte figura se fizermos o esboço das funções:

Dado que os limites de integração dados pela segunda integral são de [-1,0], temos que:

π < θ < 3 2 π

0 ≤ r ≤ 1

Feito isto, vamos para a função dada. Temos que:

2 1 + x 2 + y 2

Sabendo que:

x 2 + y 2 = r 2 → r = x 2 + y 2

Passo 3

Assim:

∫ - 1 0 ∫ - 1 - x 2 0 2 1 + x 2 + y 2 d y   d x = ∫ π 3 2 π ∫ 0 1 2 1 + r   r   d r   d θ

Sabendo que r 1 + r = 1 - r r + 1

∫ π 3 2 π ∫ 0 1 2 1 - r 1 + r d r   d θ

2 ∫ π 3 2 π 1 - ln ⁡ 2 d θ

2 1 - ln ⁡ 2 θ π 3 2 π  

π 1 - ln ⁡ 2

Resposta

∫ - 1 0 ∫ - 1 - x 2 0 2 1 + x 2 + y 2 d y   d x = ∫ π 3 2 π ∫ 0 1 2 1 + r   r   d r   d θ

E o valor da integral é:

π 1 - ln ⁡ 2

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