Calcular ∬ R cos ⁡ x 2 + 9 y 2 d x d y , sendo R dada por x^2 + (9y)^2 ≤ 1 e x >= 0 .

Passo 1

A representação gráfica se dá:

Passo 2

Para facilitar a resolução da questão, utilizaremos a seguinte transformação:

x = u e 3 y = v →   x = u e y = v 3

O jacobiano dessa transformação será igual a 1:

J = 1 0 0 1 3 = 1 3

A nova figura se dará como um círculo de raio 1 centrado na origem, já que:

x 2 + 9 y 2 ≤ 1 → u 2 + v 2 ≤ 1

Então, substituindo na equação dada, temos:

∬ cos ⁡ ( u 2 + v 2 ) 1 3 d u d v

Nesse caso, as coordenadas polares se dão:

u = r cos ⁡ θ ; v = r   s e n   θ ; u 2 + v 2 = r 2

Substituindo novamente. Obtemos:

∬ cos ⁡ r 2 ⋅ 1 3 ⋅ r d r d θ

Com

0 ≤ r ≤ 1

- π 2 ≤ θ ≤ π 2

Passo 3

Integrando para r :

1 3 ∫ 0 1 r cos ⁡ r 2 d r = 1 6   s e n   r 2

Aplicando os limites:

1 6 s e n   1 - s e n   0 = 1 6 s e n   1  

Passo 4

Integrando para θ :

∫ - π 2 π 2 1 6 s e n   1 d θ = 1 6 ⋅ θ ⋅ s e n   1

Aplicando os limites:

1 6 ⋅ π 2 + π 2 ⋅ s e n   1 = 1 6 π   s e n   1  

Resposta

1 6 π   s e n   1

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