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Uma bola é atirada para cima do topo de um prédio com 112m de altura. Sua equação de movimento é s = - 16 t 2 + 96 t , onde s m é a distância orientada da bola ao ponto de partida, após t s. Ache (a) a velocidade instantânea da bola após 2s; (b) qual a altura máxima atingida pela bola? (c) Quanto tempo levará para a bola atingir o solo? (d) Ache a velocidade instantânea da bola ao atingir o solo.

Passo 1

Bom, vamos primeiro achar a velocidade, já que ela vai nos ajudar a responder cada uma das letras, para isso, precisamos derivar a equação de movimento dada, somada à altura do prédio, porque a equação só nos dá o movimento do topo do prédio:

d s d t = d d t ( - 16 t 2 + 96 t + 112 )

Podemos fazer a derivada diretamente de cada termo, ficando com:

v = d s d t = - 32 t + 96

Essa será nossa equação de velocidade.

Passo 2

Agora vamos responder a letra (a), ela pede para encontrarmos a velocidade instantânea para um valor de t, então basta substituirmos esse valor na equação da velocidade, e saberemos a velocidade naquele instante:

v 2 = - 32.2 + 96 = 32 m / s

Passo 3

Na letra (b) vamos precisar igualar nossa equação da velocidade a zero, pois será exatamente quando a bola estiver no ponto mais alto após ser jogada para cima.

v = - 32 t + 96 = 0

t = 3 s

Agora que sabemos o tempo que leva para a bola subir até o ponto mais alto, basta substituir na equação do movimento, para sabermos em qual posição a bola estará:

s 3 = - 16 3 2 + 96 . 3 + 112 = 256 m

Passo 4

A letra (c) nos pede para calcularmos o tempo que a bola levará para atingir o solo. Precisaremos substituir s por zero e encontrar o t:

- 16 t 2 + 96 t + 112 = 0

Reescrevendo:

- 16 t 2 - 6 - 7 = 0

- 16 t - 7 t + 1 = 0

E então

t = 7 s   e   t = - 1 s

Descartamos o último resultado, pois o valor é negativo para o tempo, ficando apenas com t = 7 .

Passo 5

E por fim, a letra (d) pede para encontrarmos a velocidade no instante que ela atinge o solo, mas nós já calculamos qual é esse instante na letra (c), então precisamos só substituir esse valor na equação da velocidade, assim:

v ( 7 ) = - 32 . 7 + 96

v 7 = - 128 m / s

Resposta

  1. 32 m / s
  2. 256 m
  3. 7 s
  4. - 128 m / s

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