Enunciado

Nos exercícios de 13 a 24, ache a derivada da função dada

22) D y [ y + 3 3 5 y + 1 3 ( 3 y 4 - 4 ) ]

Passo 1

Para resolvermos a derivada da função, precisamos aplicar a Regra do Produto, a questão é que nesse caso, existem dois produtos de três termos, então a definição fica:

f x g x h x = f ' x g x h x + f x g ' x h x + f x g x h ' ( x )

E para o nosso caso, escrevemos da seguinte maneira:

d d y y + 3 3 5 y + 1 3 3 y 4 - 4 + y + 3 3 d d y 5 y + 1 3 3 y 4 - 4 + y + 3 3 5 y + 1 3 d d y [ 3 y 4 - 4 ]

Passo 2

Agora vamos aplicar a Regra da Cadeia para resolver a primeira derivada acima:

d d y y + 3 3

Fazemos a derivada da potência de fora:

d d t t 3 = 3 t 2

Substituímos t pelo que está dentro da potência e multiplicamos pela derivada dela:

3 y + 3 2 d d y y + 3

E isso será:

3 y + 3 2

Passo 3

Beleza, agora vamos resolver a segunda derivada da nossa conta do Passo 1:

d d y [ 5 y + 1 3 ]

Aplicamos a Regra da Cadeia e resolvemos a derivada da potência primeiro:

d d y t 3 = 3 t 2

Substituímos t pelo que está dentro da potência e multiplicamos pela derivada da função de dentro:

3 5 y + 1 2 d d y 5 y + 1

Resolvendo a derivada na conta de cima:

15 5 y + 1 2

Passo 4

Vamos repetir todo o processo mais uma vez para a terceira derivada do Passo 1:

d d y [ 3 y 4 - 4 ]

Nesse caso não precisamos aplicar a Regra da Cadeia, e podemos fazer a derivada diretamente:

d d y 3 y 4 - 4 = 12 y 3

Passo 5

Agora substituímos os três resultados na regra do produto que aplicamos no início:

d d y y + 3 3 5 y + 1 3 3 y 4 - 4 + y + 3 3 d d y 5 y + 1 3 3 y 4 - 4 + y + 3 3 5 y + 1 3 d d y [ 3 y 4 - 4 ]

3 y + 3 2 5 y + 1 3 3 y 4 - 4 + y + 3 3 15 5 y + 1 2 3 y 4 - 4 + y + 3 3 5 y + 1 3 12 y 3

Simplificando:

6 y + 3 2 5 y + 1 2 ( 25 y 5 + 56 y 4 + 6 y 3 - 20 y - 32 )

Resposta

f ' y = 6 y + 3 2 5 y + 1 2 ( 25 y 5 + 56 y 4 + 6 y 3 - 20 y - 32 )

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Encontre f ' ( x 2 ) se d f ( x 2 ) d x = x 2 .
Encontre f ' ( x ) :11. f x = 4 3 x 2 - 2 x + 1 3
Dado que f ' x = x x 2 + 1 e g x = 3 x - 1 , encontre F ' ( x ) se F x = f ( g x ) .
Lembre que uma função f é par se f - x = f ( x ) e ímpar se f - x = - f ( x ) para todo x no domínio de f . Supondo que f seja diferenciável, prove que: f ' será ímpar de f for par. f ' será par se f
Encontre f ' ( x ) :14. f x = 12 + x 3