Enunciado

Nos exercícios de 5 até 10, use o método de Newton para encontrar o valor aproximado da raiz indicada com erro menor que um milésimo.

x 3 - 4 x - 8 = 0 ; a raiz positiva

Passo 1

Para iniciar a resolução da questão, o primeiro passo é lembrar que o método busca estimar as raízes de uma equação polinomial, podendo ser tão preciso quanto desejarmos, dependendo apenas da quantidade de repetições do processo sobre uma equação. A análise é feita a partir da seguinte relação:

x n + 1 = x n - f x n f ' x n

Com n um número natural, a raiz x n tem precisão de k casas decimais se x n + 1 = x n até a k - é s i m a casa decimal. A função f ( x ) , por sua vez, é identicamente nula, tratada como a função polinomial que representa o lado esquerdo da equação original.

Passo 2

Devemos calcular a função f ' ( x ) , que aparece na relação proposta por Newton. Derivando normalmente:

f ' x = 3 x 2 - 4

Passo 3

Para escolher o valor de x 1 , perceba que f 3 = 7 > 0 e f 2 = - 8 < 0 . Portanto, o valor x 1 = 2 , 5 é razoável para iniciar o método. Logo, calculemos os valores seguintes até atingir a precisão desejada:

- x 2 = x 1 - f x 1 f ' x 1

x 2 = 2 , 5 - - 2,375 14,75

x 2 = 2,6610

- x 3 = x 2 - f x 2 f ' x 2  

x 3 = 2,6610 - 0,1983 17,24  

x 3 =   2,6495

- x 4 = x 3 - f x 3 f ' x 3  

x 4 = 2,6495 - 0,0011 17,0596  

x 4 = 2,6494

- x 5 = x 4 - f x 4 f ' x 4  

x 5 = 2,6494 - 0,0006 17,0580  

x 5 = 2,6494

Resposta

Ou seja, a raiz real da equação x 3 - 4 x - 8 = 0 , com aproximação de quatro casas decimais, é:

x = 2 , 6494

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Use o método de Newton para estimar as soluções da equação x 2 + x - 1 = 0 . Comece comx 0=-1 para a solução à esquerda e com x 0=1 para a solução à direita. Depois, determine x 2 em cada caso.
Aplique o método de Newton a f x = x 1 3 com x 0=1 e calcule x 1,x 2 ,x 3ex 4 . Determine uma fórmula para x n . O que acontece com x n quando n → ∞ ? Desenhe uma figura que mostre o que ocorre.
Para que valor(es) de x teremos ln ⁡ 1 - x 2 = x - 1 ?
As curvas y=x 2 ( x+1 ) e y= 1 x( x0 ) se cruzam em um ponto x=r . Use o método de Newton para estimar o valor de r com quatro casas decimais.
A figura a seguir mostra um círculo de raio r com uma corda de comprimento 2 e um arco s de comprimento 3 . Use o método de Newton para resolverr e θ (radianos) com quatro casas decimais. Suponha que