Enunciado

Nos exercícios de 1 a 4, use o método de Newton para encontrar a raiz real da equação dada com quatro casas decimais.

6 x 3 + 9 x + 1 = 0

Passo 1

Para iniciar a resolução da questão, o primeiro passo é lembrar que o método busca estimar as raízes de uma equação polinomial, podendo ser tão preciso quanto desejarmos, dependendo apenas da quantidade de repetições do processo sobre uma equação. A análise é feita a partir da seguinte relação:

x n + 1 = x n - f x n f ' x n

Com n um número natural, a raiz x n tem precisão de k casas decimais se x n + 1 = x n até a k - é s i m a casa decimal. A função f ( x ) , por sua vez, é identicamente nula, tratada como a função polinomial que representa o lado esquerdo da equação original.

Passo 2

Devemos calcular a função f ' ( x ) , que aparece na relação proposta por Newton. Derivando normalmente:

f ' x = 18 x 2 + 9

Passo 3

Para escolher o valor de x 1 , perceba que f 0 > 0 e f - 1 < 0 . Portanto, o valor x 1 = - 0,5 é razoável para iniciar o método. Logo, calculemos os valores seguintes até atingir a precisão desejada:

- x 2 = x 1 - f x 1 f ' x 1

x 2 = - 0,5 - - 4,25 13,5

x 2 = - 0 , 1852

- x 3 = x 2 - f x 2 f ' x 2  

x 3 = - 0 , 1852 - - 0 , 7049 9,6174  

x 3 =   - 0 , 1116

- x 4 = x 3 - f x 3 f ' x 3  

x 4 = - 0 , 1116 - - 0,0127 9,2241  

x 4 = - 0,1102

- x 5 = x 4 - f x 4 f ' x 4  

x 5 = - 0 , 1102 - 0,0002 9,2186  

x 5 = - 0 , 1102

Resposta

Ou seja, a raiz real da equação 6 x 3 + 9 x + 1 = 0   , com aproximação de quatro casas decimais, é:

x = - 0 , 1102

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